Satz von Pfister

benannt nach Albrecht Pfister

Der Satz von Pfister, benannt nach Albrecht Pfister, beschäftigt sich mit der Frage, wann Produkte von Summen von Quadraten wieder als Summen von Quadraten geschrieben werden können.

Einleitung

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Schon seit dem Altertum ist bekannt, dass ein Produkt von Summen zweier Quadrate wieder als eine Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann. Genauer kann man zu gegebenen   und   bilineare Formeln   angeben, so dass stets   gilt, siehe Brahmagupta-Identität. Eine Verallgemeinerung auf endliche Folgen   und   gelingt nach dem Kompositionssatz von Hurwitz neben dem trivialen Fall   nur noch für   (Eulerscher Vier-Quadrate Satz) und   (Degens Acht-Quadrate Satz). Wegen der Bilinearität gilt dann in beliebigen kommutativen Ringen für  , dass ein Produkt von Summen von   Quadraten wieder eine Summe von   Quadraten sind.

Um hier zu weiteren Ergebnissen zu kommen, muss man die bilineare Abhängigkeit der   von   und   aufgeben. Man kann dies durch lineare Abhängigkeit von   und rationale Abhängigkeit von   ersetzen und erhält dann Aussagen, die nicht mehr in allen kommutativen Ringen, sondern nur noch in allen Körpern gelten. Bezeichnet man die Menge der von 0 verschiedenen Quadratsummen   der Länge   eines Körpers   mit   (eine Bezeichnung aus der Theorie der Bilinearformen), so stellt sich also die Frage, wann diese Teilmenge des Körpers multiplikativ abgeschlossen ist. Wenn dies der Fall ist, dann liegt sogar eine Gruppe vor, denn die Abgeschlossenheit gegenüber Inversenbildung ergibt sich aus folgender einfacher Rechnung:

Ist  , so ist  .

Der folgende Satz verallgemeinert die bisher genannten Ergebnisse in leicht abgeschwächter Form:

Formulierung des Satzes

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Für jede Zweierpotenz   und jeden Körper   ist   eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe des Körpers.[1][2]

Ist  , so gibt es für das Bestehen der Gleichung

 

Formeln für   von der Form  , wobei die   rationale Funktionen aus   sind.[3]

Bemerkungen

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Dass obiger Satz für alle Zweierpotenzen gilt, ist auf Grund der zuvor bekannten Ergebnisse für   nicht unplausibel. Dennoch stellt sich die Frage, ob es noch weitere Zahlen   gibt, für die das richtig ist. Das hängt natürlich vom betrachteten Körper ab. Für den Körper   der reellen Zahlen ist offenbar  , denn jede positive Zahl lässt sich als Summe von beliebig vielen Quadraten schreiben, und   ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe von  , das heißt   ist für jedes   eine Untergruppe. Für den Körper   der rationalen Zahlen ist   für alle  , denn jede rationale Zahl ist Summe von vier Quadraten, wie man leicht aus dem Vier-Quadrate-Satz schließen kann, das heißt   ist für alle   eine Untergruppe.   ist keine Untergruppe, denn   kann nicht als Summe von drei rationalen Quadraten geschrieben werden. Im Körper   der rationalen Funktionen in unendlich vielen Unbestimmten über   ist   nur für Zweierpotenzen   eine Untergruppe.[4] Daher gibt es neben den Zweierpotenzen keine weiteren Zahlen  , so dass   für jeden Körper eine Untergruppe ist.

Da nach dem Kompositionssatz von Hurwitz die Beziehung   nur im Falle der Zweierpotenzen   mit bilinearen Formeln für die   bestehen kann, müssen für Zweierpotenzen ab 16 notwendigerweise Nenner in den Formeln für die   auftreten. Wie solche Formeln dann aussehen, zeigt Pfisters Sechzehn-Quadrate-Identität.

Einzelnachweise

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  1. R. Elman, N. Karpenko, A. Merkujev: The Algebraic and Geometric Theory of Quadratic Forms, American Mathematical Society – Colloquium Publication, Band 56 (2008), ISBN 978-0-8218-7322-9, Korollar 6.7
  2. A. Pfister: Zur Darstellung von -1 als Summe von Quadraten in einem Körper, J. London Math. Soc. 40 (1965), 159–165.
  3. A. R. Rajwade: Pfisters Work on Sums of Squares, in Number Theory, Birkhäuser Verlag (2012), ISBN 978-3-7643-6259-1, Seite 335, Theorem 5
  4. Keith Conrad: Pfister's Theorem on Sums of Squares