Satz von Dubins-Schwarz

Satz aus der stochastischen Analysis

Der Satz von Dubins-Schwarz (auch Satz von Dambis-Dubins-Schwarz) ist ein Satz aus der stochastischen Analysis, der alle stetigen lokalen Martingale und stetigen Martingale als zeitveränderte brownsche Bewegungen charakterisiert.

Das Theorem wurde 1965 von Lester Dubins und Gideon E. Schwarz bewiesen.[1] Im selben Jahr erschien auch eine Publikation von K. E. Dambis, einem Doktoranden von Eugene Dynkin,[2] der den Satz unabhängig von Dubins und Schwarz bewiesen hatte.[3]

Satz von Dubins-Schwarz

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Notation:

  •   bezeichnet den Raum der  -adaptierten, stetigen lokalen Martingale   mit  .
  •   bezeichnet die quadratische Variation.

Sei   und  , definiere die Stoppzeit für alle  [4]

 

Dann ist   eine  -brownsche Bewegung und  .

Erläuterungen

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  • Die Eigenschaft   gewährleistet, dass der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum genügend groß ist, damit eine brownsche Bewegung existiert. Möchte man diese Voraussetzung entfernen, muss man den Wahrscheinlichkeitsraum erweitern.
  •   ist keine  -brownsche Bewegung.
  •   sind fast sicher endlich, da  .
  •   sind càdlàg und  -adaptiert.

Einzelnachweise

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  1. Lester E. Dubins und Gideon Schwarz: On Continuous Martingales. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 53, Nr. 5, 1965, S. 913–916, doi:10.1073/pnas.53.5.913 (pnas.org).
  2. Satz von Dubins-Schwarz im Mathematics Genealogy Project (englisch) Vorlage:MathGenealogyProject/Wartung/id verwendet
  3. Dambis, On decomposition of continuous submartingales, Theory of Probability and its Applications, Band 10, 1965, S. 401–410, russisch: Teor. Veroyatnost. i Primenen., Band 10, 1965, S. 438–448; mathnet.ru (dort ist die russische Version Online)
  4. Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999 (englisch).