Satz von Donsker

mathematischer Satz

Der Satz von Donsker ist ein fundamentaler Satz aus der Stochastik, genauer aus der Theorie der stochastischen Prozesse. Der Satz begründet die Existenz des Wiener-Maßes bzw. der Brownschen Bewegung und bietet zugleich eine Konstruktionsmöglichkeit.

Das Theorem ist die funktionale Variante des zentralen Grenzwertsatzes und ist deshalb auch unter dem Namen Funktionaler Grenzwertsatz und Donskersches Invarianzprinzip bekannt.

Er wurde 1952 vom amerikanischen Mathematiker Monroe D. Donsker bewiesen.[1][2]

Aussage Bearbeiten

Sei

  •   der Raum der stetigen Funktionen auf  ,
  •   die borelsche σ-Algebra auf  ,
  •   der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße über  ,

Weiter sei   ein Wahrscheinlichkeitsraum und   i.i.d. reelle Zufallsvariablen darauf, so dass   und   für alle   gilt. Sei   mit  , konstruiere

 

  ist die stückweise lineare Interpolation mit   für  . Sei   das Bildmaß  , dann konvergiert   schwach gegen das Wiener-Maß.[3]

Erläuterungen Bearbeiten

  • Da der Satz keine zugrundeliegende Verteilung an die   voraussetzt (nur dass diese iid sind), spricht man vom Donskerschen Invarianzprinzip.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Monroe D. Donsker: An invariant principle for certain probability limit theorems. In: Amer. Math. Soc. (Hrsg.): Memoirs of the Amer. Math. Soc. Band 6, 1951, S. 1–10.
  2. Ethan Schondorf: The Wiener Measure And Donsker's Invariance Principle. (PDF) Abgerufen am 20. April 2021.
  3. Albert Nikolajewitsch Schirjajew: Probability Theory III: Stochastic Calculus. Hrsg.: Springer. Deutschland 1998, ISBN 3-662-03641-X, S. 12.