Satz von Cartan-Ambrose-Hicks

In der Mathematik ist der Satz von Cartan-Ambrose-Hicks ein Lehrsatz der Riemannschen Geometrie, dem zufolge Riemannsche Metriken lokal bereits durch den Riemannschen Krümmungstensor eindeutig festgelegt sind.

Der Satz ist nach Élie Cartan benannt, der die lokale Version bewies, und Warren Ambrose und dessen Doktoranden Noel Hicks.[1] Ambrose bewies 1956 eine globale Version.[2]

VorbereitungenBearbeiten

Seien   zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten,   und

 

eine lineare Isometrie. Für hinreichend kleine   sind die Exponentialabbildungen

 

lokale Diffeomorphismen. Man definiert dann eine differenzierbare Abbildung   durch

 .

Für eine Geodäte   mit   sei   der (mittels des Levi-Civita-Zusammenhanges definierte) Paralleltransport entlang  . Wir definieren dann

 

für  .

Satz von CartanBearbeiten

Der ursprüngliche Satz von Cartan ist die lokale Version des Satzes von Cartan-Ambrose-Hicks. Er besagt, dass   genau dann eine (lokale) Isometrie ist, wenn für alle Geodäten   mit   und alle   gilt:

 ,

wobei   die Riemannschen Krümmungstensoren von   sind.

Man beachte, dass   im Allgemeinen kein Diffeomorphismus, sondern nur eine lokal-isometrische Überlagerung sein muss. Jedoch muss   eine globale Isometrie sein, wenn   einfach zusammenhängend ist.

Satz von Cartan-Ambrose-HicksBearbeiten

Seien   zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten,   einfach zusammenhängend. Seien   und

 

eine lineare Isometrie. Für die Riemannschen Krümmungstensoren   und alle in   beginnenden gebrochenen Geodäten   gelte

 

für alle  .

Dann gilt: wenn zwei in   beginnende gebrochene Geodäten denselben Endpunkt haben, dann gilt das auch für die (unter  ) entsprechenden gebrochenen Geodäten in  . Man kann also eine Abbildung

 

definieren, indem man Endpunkte gebrochener Geodäten auf die Endpunkte der entsprechenden Geodäten in   abbildet.

Die Abbildung   ist eine lokal-isometrische Überlagerung.

Falls   ebenfalls einfach zusammenhängend ist, dann ist   eine Isometrie.

Lokal symmetrische RäumeBearbeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt lokal symmetrisch, falls der Riemannsche Krümmungstensor parallel ist:

 .

Eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit ist genau dann lokal symmetrisch, wenn sie ein Symmetrischer Raum ist.

Aus dem Satz von Cartan-Ambrose-Hicks ergibt sich:

Satz: Seien   zusammenhängende, vollständige, lokal symmetrische Riemannsche Mannigfaltigkeiten,   einfach zusammenhängend. Seien   und

 

eine lineare Isometrie mit

 

für die Riemannschen Krümmungstensoren  . Dann gibt es eine lokal isometrische Überlagerung

 

mit   und  .

Als Korollar folgt, dass jeder vollständige lokalsymmetrische Raum von der Form   für einen symmetrischen Raum   und eine diskrete Gruppe von Isometrien   ist.

RaumformenBearbeiten

Als Anwendung des Satzes von Cartan-Ambrose-Hicks ist insbesondere jede einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung   isometrisch zur Standard-Sphäre   bzw. dem euklidischen Raum   bzw. dem hyperbolischen Raum  .

Weiterhin gilt:

  • jede vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung   ist von der Form   für eine endliche Gruppe von Isometrien  ,
  • jede vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung   ist von der Form   für eine Bieberbachgruppe  ,
  • jede vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung   ist von der Form   für eine diskrete Gruppe von Isometrien  .

LiteraturBearbeiten

  • Jeff Cheeger, David Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. ISBN 978-0-8218-4417-5
  • Joseph A. Wolf: Spaces of constant curvature. Sixth edition. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2011. ISBN 978-0-8218-5282-8
  • Fangyang Zheng: Complex differential geometry. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 18. American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Boston, MA, 2000. ISBN 0-8218-2163-6

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Mathematics Genealogy Project, Eintrag zu N. Hicks
  2. W. Ambrose: Parallel translation of Riemannian curvature, Annals of Mathematics (2) 64 (1956), 337–363