Satz von Bichteler-Dellacherie

Satz aus der stochastischen Analysis

Der Satz von Bichteler-Dellacherie ist ein wichtiger Satz aus der stochastischen Analysis. Er charakterisiert die Semimartingale durch eine Zerlegung des Prozesses in ein lokales Martingal und einen Prozess mit endlicher Variation.[1] Als Konsequenz daraus folgt, dass die Integration mit Semimartingalen als Integratoren existiert.

Der Satz wurde von Klaus R. Bichteler (1979/1981) und Claude Dellacherie (1980) unabhängig voneinander bewiesen.[2][3][4] Für den Beweis benötigt man meistens die Doob-Meyer-Zerlegung, einer Verallgemeinerung der Doob-Zerlegung in stetiger Zeit.

Satz von Bichteler-Dellacherie

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FV-Prozess

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Ein Càdlàg-Prozess   ist ein Prozess endlicher Variation oder FV-Prozess (von englisch Finite-Variation), wenn fast alle Pfade von   auf jedem kompakten Intervall von   eine endliche Variation besitzen.[5]

Formulierung

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Ein adaptierter Càdlàg-Prozess   ist genau dann ein Semimartingal (im Sinne der 1. Definition), wenn   sich in

 

zerlegen lässt, wobei   ein lokales Martingal und   ein adaptierter FV-Prozess ist.

Literatur

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  • Mathias Beiglböck und Pietro Siorpaes: Riemann-integration and a new proof of the Bichteler–Dellacherie theorem. In: Stochastic Processes and their Applications. Band 124, Nr. 3, 2014, ISSN 0304-4149, S. 1226–1235, doi:10.1016/j.spa.2013.10.001 (sciencedirect.com).
  • Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 39.

Einzelnachweise

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  1. Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 144.
  2. Bichteler, Stochastic Integrators, Bulletin of the American Mathematical Society, Band 1, 1979, S. 761–765
  3. Bichteler, Stochastic Integration and   theory of semimartingales, Annales of Probability, Band 9,1981, S. 49–89
  4. Dellacherie,Un survol de la théorie de l'intégrale stochastique, Stochastic Processes and Their Applications, Band 10, 1980, S. 115–144
  5. Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Stochastic Modelling and Applied Probability. ISBN 3-540-00313-4, S. 39.