Der Satz von Barankin und Stein ist ein mathematischer Satz der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Er beschreibt die Struktur lokal minimaler Schätzer und kann somit als eine Spezialisierung des Satzes von Lehmann-Scheffé betrachtet werden, der die Struktur gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer beschreibt.

Der Satz ist nach Charles Stein und Edward William Barankin benannt.

Rahmenbedingungen

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Gegeben sei ein statistisches Modell  . Sei ein festes   ausgewählt. Des Weiteren dominiere   die Verteilungsklasse  , das heißt jedes   besitzt eine Dichtefunktion

 

bezüglich  . Jede dieser Dichtefunktionen sei aus  , der Menge aller quadratintegrierbaren Funktionen bezüglich   (siehe Lp-Raum).

Sei   die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für die Parameterfunktion   und sei

 

die Menge aller erwartungstreuen Schätzer mit endlicher Varianz bezüglich  . Des Weiteren sei

 

die lineare Hülle der Funktionen in   und

 

den Abschluss der Menge   in  .

Der Satz von Barankin und Stein lautet nun: Ein   ist genau dann lokal optimal in  , wenn

 

ist.

Beweisskizze

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Der Beweis beruht im Kern auf Orthogonalitätsargumenten im Hilbertraum  . Mit der Notation   und den Skalarprodukt   ist

 .

Demnach gilt für  , die Menge aller Nullschätzer mit endlicher Varianz bezüglich  

 .

Nach der Kovarianzmethode ist aber   genau dann lokal minimal, wenn   ist. Da in Hilberträumen für das orthogonale Komplement von Unterräumen  

 

gilt, folgt

 .

Mittels der obigen Aussage über die Kovarianzmethode folgt damit der Satz.

Literatur

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