Reproduktivitätseigenschaft

Begriff aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Die Reproduktivitätseigenschaft einer Wahrscheinlichkeitsverteilung besagt, dass die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen eines bestimmten Verteilungstyps wieder nach diesem Typ verteilt ist.

Reproduktiv sind etwa die Normalverteilung, die Poisson-Verteilung, die Gammaverteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung und die Cauchy-Verteilung. Eine mit der Reproduktivität eng verwandte Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit.

BeispielBearbeiten

Die Zufallsvariablen   und   seien unabhängig und normalverteilt als

 .

Die Zufallsvariable   ist dann ebenfalls normalverteilt als

 .

Allgemein gilt: Aus   unabhängig folgt:[1]

 .

Mehrere ParameterBearbeiten

Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel   binomialverteilt mit Parametern   und  , also   und  , so ist  . Für fixiertes   ist also die Binomialverteilung   reproduktiv bezüglich  . Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 149.