Quasikonvexe Funktion

mathematische Funktion
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Eine quasikonvexe Funktion ist eine reellwertige Funktion, die auf einer konvexen Teilmenge eines reellen Vektorraums definiert ist und die Eigenschaft konvexer Funktionen verallgemeinert, dass alle ihre Subniveaumengen konvex sind. Ähnlich wie bei den konvexen Funktionen definiert man als Gegenstück die quasikonkave Funktion. Ist eine Funktion quasikonvex und quasikonkav, so heißt sie eine quasilineare Funktion. Quasikonvexe Funktionen sind von Bedeutung bei verschiedenen Anwendungen in der Wirtschaftstheorie. Optimierungsmethoden, die auf die Klasse der quasikonvexen Funktionen zugeschnitten sind, gehören zur quasikonvexen Optimierung und sind Verallgemeinerungen der konvexen Optimierung.

Eine quasikonvexe Funktion, die nicht konvex ist.
Eine Funktion, die nicht quasikonvex ist: Die Menge der Punkte, für die die Funktionswerte unterhalb der gestrichelten roten Linie liegen, ist die Vereinigung von zwei getrennten Intervallen und daher nicht konvex.

DefinitionBearbeiten

Quasikonvexe Funktionen können auf zwei Arten definiert werden. Je nach Wahl der Definition wird die andere Definition dann als Eigenschaft aufgeführt.

Über NiveaumengenBearbeiten

 
Der Graph einer quasikonkaven Funktion.

Eine Funktion  , die auf einer konvexen Teilmenge S eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt

 
für beliebiges   konvex ist.
 
für beliebiges   konvex ist. Äquivalent dazu ist, dass   quasikonvex ist.
  • quasilinear, wenn sie sowohl quasikonvex als auch quasikonkav ist.

Über UngleichungenBearbeiten

Eine Funktion  , die auf einer konvexen Teilmenge S eines reellen Vektorraums definiert ist, heißt

  • quasikonvex, wenn aus   und   folgt, dass
 
  • strikt quasikonvex, wenn
 
für alle   und   gilt.
  • quasikonkav, wenn aus   und   folgt, dass
 
  • strikt quasikonkav, wenn
 
für alle   und   gilt.

Äquivalent zur (strikten) Quasikonkavität von   ist, dass   (strikt) quasikonvex ist. Die Quasilinearität wird wie oben definiert: Eine Funktion heißt quasilinear, wenn sie quasikonvex und quasikonkav ist.

BeispieleBearbeiten

 
Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion
  • Jede konvexe Funktion ist quasikonvex, da die Subniveaumengen von konvexen Funktionen konvex sind.
  • Analog sind alle konkaven Funktionen quasikonkav.
  • Jede monotone Funktion ist sowohl quasikonvex als auch quasikonkav, also quasilinear.
  • Die Abrundungsfunktion   ist das Beispiel einer quasikonvexen Funktion, die weder konvex noch stetig ist.
  • Lineare Funktionen sind quasilinear.
  •   ist nicht linear, aber quasilinear.

EigenschaftenBearbeiten

  • Stetige quasikonvexe Funktionen auf einem normierten Vektorraum sind immer schwach unterhalbstetige Funktionen.
  • Daher nehmen stetige quasikonvexe Funktionen auf schwach folgenkompakten Mengen ein Minimum an.
  • Speziell nehmen demnach stetige quasikonvexe Funktionen auf einer konvexen, abgeschlossenen, beschränkten und nichtleeren Teilmenge eines reflexiven Banachraumes ein Minimum an.
  • Eine stetige Funktion   mit   konvex ist genau dann quasikonvex, wenn mindestens eine der drei folgenden Bedingungen gilt:
  1.   ist monoton wachsend auf  .
  2.   ist monoton fallend auf  .
  3. Es gibt ein  , so dass für   für alle   monoton fallend ist und für alle   monoton wachsend ist.
  • Der Definitionsbereich und jede Niveaumenge einer quasilinearen Funktion sind konvex.
  • Wie bei konvexen Funktionen gilt, dass eine Funktion  , wobei   eine konvexe Menge ist, genau dann quasikonvex ist, wenn die Funktion   definiert durch   quasikonvex ist für alle   und alle Richtungen  .

RechenregelnBearbeiten

Punktweise positiv gewichtete MaximaBearbeiten

Sind   quasikonvexe Funktionen und   positive reelle Zahlen für  , dann ist auch

 

eine quasikonvexe Funktion. Dies folgt aus der der Tatsachen, dass die Subniveaumenge der Funktion   genau der Schnitt aller Subniveaumengen der Funktionen   ist. Diese sind aber per Definition konvex und damit ist die Niveaumenge von   als Schnitt konvexer Mengen auch konvex.

Punktweises SupremumBearbeiten

Ist   eine quasikonvexe Funktion in   für alle   und ist   für alle  , so ist auch

 

eine quasikonvexe Funktion. Dies lässt sich analog zeigen wie der Fall mit Maxima.

Punktweises InfimumBearbeiten

Ist   quasikonvex sowohl in   als auch in   und ist   wobei   eine konvexe Menge ist, so ist die Funktion

 

quasikonvex.

KompositionBearbeiten

Ist   quasikonvex und ist   eine monoton fallende Funktion, so ist   eine quasikonvexe Funktion.

Quasikonvexität und DifferenzierbarkeitBearbeiten

Unter Verwendung der ersten AbleitungBearbeiten

Gegeben sei die differenzierbare Funktion   mit   konvex. Dann ist die   genau dann quasikonvex, wenn für alle   gilt, dass

 .

Im Falle einer Funktion auf den reellen Zahlen vereinfacht sich dies zu

 .

Aufgrund der Äquivalenz wird dieses auch gelegentlich zur Charakterisierung von Quasikonvexität genutzt.

Im Gegensatz zu konvexen Funktionen folgt bei quasikonvexen Funktionen aus   bzw.   im Allgemeinen nicht, dass   ein Minimum ist. Beispiel dafür ist die Funktion

 .

Sie ist quasikonvex, da monoton wachsend. Ihre Ableitung verschwindet unendlich oft, aber sie besitzt kein Minimum.

Unter Verwendung der zweiten AbleitungBearbeiten

Ist die Funktion   zweimal differenzierbar und quasikonvex, so gilt für alle   und  , dass aus   folgt, dass  . Im Falle einer Funktion auf   vereinfacht sich dies zu  

Darstellung durch Familien von konvexen FunktionenBearbeiten

In der Anwendung ist man oftmals interessiert, Niveaumengen von quasikonvexen Funktionen durch eine Familie von konvexen Funktionen zu modellieren. Dieser Fall taucht beispielsweise bei Optimierungsproblemen mit quasikonvexen Restriktionsfunktionen auf. Die Niveaumengen sind zwar konvex, aber konvexe Funktionen sind einfacher zu Handhaben als quasikonvexe. Gesucht wird also eine Familie von konvexen Funktionen   für  , so dass

 

für eine quasikonvexe Funktion   gilt. Die quasikonvexe Restriktion

 

lässt sich dann durch die konvexe Restriktion

 

ersetzen. Das quasikonvexe Optimierungsproblem ist dann ein konvexes Optimierungsproblem.   ist immer eine monoton wachsende Funktion in  , es gilt also  .

Eine Darstellung der Niveaumengen existiert immer, zum Beispiel durch die erweiterte Funktion

 .

Sie ist aber nicht eindeutig. Meist ist man an differenzierbaren Funktionen, die die Niveaumengen beschreiben interessiert.

Anwendungen in der WirtschaftstheorieBearbeiten

  1. In der Theorie des Haushaltsoptimums treten quasikonkave Nutzenfunktionen auf.
  2. In der Theorie des Nash-Gleichgewichtes betrachtet man quasikonkave Auszahlungsfunktionen.

QuellenBearbeiten

  • M. Avriel, W. E. Diewert, S. Schaible, I. Zang: Generalized Concavity. Plenum Press, 1988, ISBN 0-306-42656-0.

LiteraturBearbeiten

  • Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.
  • Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge/ New York/ Melbourne 2004, ISBN 0-521-83378-7 (online).

WeblinksBearbeiten