Projektionssatz (Dreieck)

mathematischer Satz

Der Projektionssatz ist eine Aussage aus der Elementargeometrie, die eine Verallgemeinerung des Kathetensatzes auf beliebige Dreiecke darstellt:

Flächengleichheit der beiden grauen Rechtecke:
mit
und
gilt
Für zwei Seiten in einem beliebigen Dreieck sind diejenigen Rechtecke flächeninhaltsgleich die aus einer Seite und der orthogonalen Projektion der anderen auf sie gebildet werden.

In einem beliebigen Dreieck mit Seiten a, b und c bezeichne pxy die Projektion der Seite x auf die Seite y, dann gilt:

In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem rechten Winkel in C entsprechen die Projektionen pcb und pca den Seiten b und a. Damit liefert der Projektionssatz dann:

Man erhält also den Kathetensatz des Euklid.

Literatur

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  • Hans Schupp: Elementargeometrie (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik). Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 117–118