Prinzip der guten Mengen

Beweismethode

Das Prinzip der guten Mengen ist eine vor allem in der Maßtheorie häufig angewendete Beweismethode.[1][2] Sie kann verwendet werden, um zu beweisen, dass eine Aussage für alle Elemente einer σ-Algebra oder eines anderen Mengensystems zutrifft. Da im Allgemeinen die Elemente einer σ-Algebra, wie beispielsweise bei der borelschen σ-Algebra, nicht explizit angegeben werden können, sondern nur ein Erzeuger bekannt ist, muss für solche Beweise häufig indirekt vorgegangen werden.

Das Prinzip

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Sei   eine σ-Algebra über einer Grundmenge  . Um zu zeigen, dass alle Elemente von   eine gegebene Eigenschaft besitzen, wird die Menge   aller Teilmengen von   (oder aller Elemente von  ) betrachtet, für die diese Eigenschaft zutrifft, also alle „guten Mengen“. Gilt nun

  1.   enthält einen Erzeuger von   und
  2.   ist eine σ-Algebra,

so folgt, dass die Eigenschaft für alle   gilt. Mit anderen Worten: Es ist nur zu zeigen, dass   von gewissen „guten Mengen“ erzeugt wird und dass die Menge aller „guten Mengen“ eine σ-Algebra bildet.[3]

Begründung: Wird   von einem Mengensystem   erzeugt, so folgt wegen der Monotonie und Idempotenz des σ-Operators aus  :

 

Falls es schwierig ist, für den Punkt 2 zu zeigen, dass   abgeschlossen gegenüber abzählbaren Vereinigungen beliebiger Elemente ist, kann das Prinzip aufgrund des Dynkinschen π-λ-Satzes mit einem Dynkin-System-Argument kombiniert werden. Ist der Erzeuger   durchschnittsstabil, so genügt es zu zeigen, dass   ein Dynkin-System ist, denn in diesem Fall gilt  , wobei   das von   erzeugte Dynkin-System bezeichnet.

Beispiele

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(1)

Ist   eine Abbildung und   ein Mengensystem aus Teilmengen von  , dann gilt[4]

 

d. h., das Urbild der von   erzeugten σ-Algebra ist die vom Urbild von   erzeugte σ-Algebra.

Um die Inklusion   zu beweisen, kann das Prinzip der guten Mengen angewendet werden, denn dazu ist zu zeigen, dass alle   die Eigenschaft   besitzen. Dazu wird also

 

als Menge der guten Mengen gewählt. Die beiden obigen Bedingungen sind damit erfüllt:

  1. Für alle   gilt  , also  .
  2.   ist eine σ-Algebra: Das prüft man direkt anhand der Definition mit Hilfe der Rechenregeln für Urbilder nach.

Damit ist die Inklusion gezeigt.

Die umgekehrte Inklusion folgt hingegen mit einem einfachen Monotonieargument. Da Urbilder von σ-Algebren wieder σ-Algebren sind, gilt

 

(2)

Das Prinzip der guten Mengen kann auch beim Beweis des Maßeindeutigkeitssatzes verwendet werden.

Einzelnachweise

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  1. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage, Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 19.
  2. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. Springer, Wien 2011, ISBN 978-3-7091-0684-6, S. 24.
  3. Dirk Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2. Auflage, Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-79599-5, S. 213.
  4. Jochen Wengenroth: Wahrscheinlichkeitstheorie. Walter de Gruyter, 2008, ISBN 978-3-11-020358-5, S. 11.