In der Mathematik ist eine perfekte Potenz (vom englischen perfect power) eine natürliche Zahl , die ein Produkt mehrerer gleicher natürlicher Faktoren ist. Mit anderen Worten: Sie ist eine ganze Zahl, die als Quadrat oder eine höhere ganzzahlige Potenz einer anderen ganzen Zahl größer als 1 ausgedrückt werden kann.

Die perfekten Potenzen 4, 8 und 9, dargestellt mit Cuisenaire-Stäbchen

Etwas mathematischer formuliert:

ist eine perfekte Potenz, wenn mit existieren, sodass gilt. In diesem Fall nennt man eine perfekte -te Potenz.

Ist , so nennt man eine Quadratzahl. Ist , so nennt man eine Kubikzahl.

Man kann auch die Zahlen 0 und 1 als perfekte Potenzen betrachten, weil sowohl und für alle gilt.

Beispiele

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  • Die kleinsten perfekten Potenzen sind die folgenden:
   
Dabei fällt auf, dass man gewisse perfekte Potenzen auf mehrere Arten darstellen kann, wie zum Beispiel   oder  .
  • Eine Folge von perfekten Potenzen kann erzeugt werden, indem man alle möglichen Werte für   und   durchgeht. Die kleinsten perfekten Potenzen sind die folgenden (inklusive der doppelten wie zum Beispiel   und  ):
(0, 1,) 4, 8, 9, 16, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 64, 64, 81, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 256, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 512, 529, 576, 625, 625, 676, 729, 729, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, 1024, 1024, 1089, … (Folge A072103 in OEIS)
  • Lässt man die doppelten weg, erhält man die folgenden kleinsten perfekten Potenzen:
(0, 1,) 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1331, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1728, 1764, … (Folge A001597 in OEIS)
  • Ist man nur an den doppelten oder mehrfachen kleinsten perfekten Potenzen interessiert, so gibt die folgende Liste Auskunft:
(0, 1,) 16, 64, 81, 256, 512, 625, 729, 1024, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 15625, 16384, 19683, 20736, 28561, 32768, 38416, 46656, 50625, 59049, 65536, 83521, 104976, 117649, 130321, 160000, 194481, 234256, 262144, 279841, 331776, 390625, … (Folge A117453 in OEIS)
  • Die Anzahl der perfekten Potenzen ohne doppelte kleiner oder gleich   gibt die folgende Liste an:
4, 13, 41, 125, 367, 1111, 3395, 10491, 32670, 102231, 320990, 1010196, 3184138, 10046921, 31723592, 100216745, 316694005, 1001003332, 3164437425, 10004650118, 31632790244, 100021566157, 316274216762, 1000100055684, … (Folge A070428 in OEIS)
Beispiel:
An der vierten Stelle obiger Liste steht die Zahl 125. Das bedeutet, dass es unter   genau 125 perfekte Potenzen gibt. Dabei wird die 0 nicht mitgezählt, die 1 aber schon, die   ebenfalls.
  • Die folgende Tabelle zeigt alle perfekten Potenzen mit   und  :
 ,   2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576
5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625
6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 10077696 60466176
7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 40353607 282475249
8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 134217728 1073741824
9 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 387420489 3486784401
10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 10000000000

Eigenschaften

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  • Jede perfekte Potenz   kann man auch als Primzahlpotenz   (mit   prim) darstellen.
Beweis:
Sei   eine perfekte Potenz mit einer zusammengesetzten Zahl   (wobei   prim ist). Dann ist  . Somit kann man jede perfekte Potenz   auch als Primzahlpotenz   mit   darstellen.  
  • Sei   die vollständige Primfaktorzerlegung von   mit verschiedenen Primzahlen  . Dann gilt:
  ist eine perfekte Potenz genau dann, wenn   ist, wobei mit   der größte gemeinsame Teiler gemeint ist.
Beispiel:
Sei  . Dann ist  . Die Zahl   ist daher eine 12-te Potenz (und somit auch eine 6. Potenz, eine 4. Potenz, eine Kubikzahl und eine Quadratzahl, weil 6, 4, 3 und 2 jeweils Teiler von 12 sind). Also ist   eine perfekte Potenz, nämlich  .
  • Die unendliche Reihe der Kehrwerte der perfekten Potenzen (inklusive der mehrfachen wie zum Beispiel  ) ergibt 1:
 
Beweis:
Zuerst betrachtet man die geometrische Reihe  , die für   konvergiert. Da tatsächlich   ist für  , gilt:
 
Hebt man vorher aus der Summe noch   heraus und verwendet obige geometrische Reihe, erhält man:
 
  • Für die unendliche Reihe der Kehrwerte der perfekten Potenzen   ohne 0 und 1 und den doppelten gilt:[1]
 
Dabei ist   die Möbiusfunktion und   die Riemannsche Zeta-Funktion. Die weiteren Nachkommazahlen kann man der Folge A072102 in OEIS entnehmen.
  • Nach Leonhard Euler hat Christian Goldbach in einem mittlerweile verloren gegangenen Brief gezeigt, dass die unendliche Summe von  , wobei   wieder die perfekten Potenzen ohne 0 und 1 und ohne die doppelten sind, gleich 1 ergibt (der sogenannte Satz von Goldbach–Euler):[2]
 
Dieser Satz wurde erstmals von Leonhard Euler um 1740 unter dem Namen „Variæ observationes circa series infinitas“ publiziert, allerdings wurde er von ihm und Goldbach, wenn man moderne mathematische Maßstäbe anwendet, nicht ganz exakt, aber dafür intuitiv bewiesen.[3]
Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung   mit   lautet  ,  ,   und  .
Daraus ergibt sich die folgende Eigenschaft für perfekte Potenzen:
Das einzige Paar aufeinanderfolgender perfekter Potenzen ist   und  .

Ungelöste Probleme

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  • Die Vermutung von Pillai besagt folgendes:[5]
Für jede gegebene positive ganze Zahl   gibt es nur eine endliche Anzahl von Paaren perfekter Potenzen, deren Differenz   ist.
Mit anderen Worten:
Für jedes   gibt es nur endlich viele Paare perfekter Potenzen  , sodass gilt:
 
Diese Vermutung ist die Verallgemeinerung der mittlerweile bewiesenen Catalanschen Vermutung, die den Fall   behandelt.

Erkennen von perfekten Potenzen

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Es gibt viele verschiedene Arten, um zu erkennen, ob eine gegebene natürliche Zahl   eine perfekte Potenz ist oder nicht.

  • Die einfachste Methode ist die, dass man alle möglichen primen Werte für die Hochzahl   über jeden der Teiler von   hinweg betrachtet, bis zu   (dabei ist der   der Zweierlogarithmus, also der Logarithmus von   zur Basis 2).
Beispiel:
Seien   die Teiler der zu untersuchenden Zahl  . Dann muss zumindest einer der Werte   gleich   sein, wenn   tatsächlich eine perfekte Potenz sein soll.
Sei  . Diese Zahl hat die echten Teiler   und   (1 und 117649 sind keine echten Teiler). Es ist weiters   (es ist  ) und somit kommen als Potenzen nur Primzahlen in Frage, die kleiner als 16 sind, also 2, 3, 5, 7, 11 und 13. Man muss also für alle 5 echten Teiler je 6 Potenzen, also insgesamt 30 Potenzen bis   ausrechnen (also  ) und kontrollieren, ob man als Ergebnis   erhält (wobei man vor allem bei höheren Teilern nicht alle primen Potenzen durchprobieren muss, weil man eine viel zu hohe Zahl erhalten würde). Schon bei der achten Kontrolle, bei  , kann man erkennen, dass es sich bei   tatsächlich um eine perfekte Potenz handelt. Würde man niemals mit diesen 30 Potenzen die Zahl   herausbekommen, so wäre   keine perfekte Potenz.

Einzelnachweise

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  1. Eric W. Weisstein: Perfect Power. In: MathWorld (englisch).
  2. Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, Jaume Paradís: On a Series of Goldbach and Euler. Abgerufen am 26. August 2021.
  3. Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas. 1744, abgerufen am 26. August 2021.
  4. Thomas Lorenz: Die Catalan’sche Vermutung. Kapitel 5: Mihailescus Beweis der Catalan’schen Vermutung. Technische Universität Wien, S. 65–83, abgerufen am 26. August 2021.
  5. Eric W. Weisstein: Pillai's Conjecture. In: MathWorld (englisch).