Miyaoka-Yau-Ungleichung

In der komplexen Geometrie dient die Miyaoka-Yau-Ungleichung (auch Bogomolov-Miyaoka-Ungleichung) zur Charakterisierung von bestimmten komplexen Mannigfaltigkeiten, den Ballquotienten.

Miyaoka-Yau-Ungleichung für komplexe Flächen

Sei $S$ eine kompakte komplexe Fläche von allgemeinem Typ. Dann gilt für die Chern-Klassen $c_{1}$ und $c_{2}$ die Ungleichung

$c_{1}^{2}\leq 3c_{2}$

und Gleichheit gilt nur, wenn $S$ ein Ballquotient, also eine komplex-hyperbolische Fläche ist.

Verallgemeinerungen

Sei $X$ eine $n$-dimensionale komplexe projektive Varietät, deren kanonischer Divisor $K_{X}$ ampel ist. Dann gilt die Ungleichung

$\left(c_{2}-{\frac {n}{2(n+1)}}c_{1}^{2}\right)\left[K_{X}\right]^{n-2}\geq 0$

und Gleichheit gilt nur, wenn $X$ ein Ballquotient, also eine komplex-hyperbolische Mannigfaltigkeit ist.