Milnor-Wood-Ungleichung

mathematische Abschätzung im Bereich der Differential-Geometrie

Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie gibt die Milnor-Wood-Ungleichung ein Hindernis für die Existenz eines flachen Zusammenhangs auf einem Faserbündel.

Sätze von Milnor und Wood

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Die klassische Milnor-Wood-Ungleichung betrifft (orientierte) flache Kreisbündel über einer Fläche  , deren Monodromie also durch einen Homomorphismus   gegeben ist. Eine stärkere Ungleichung erhält man für lineare flache Kreisbündel, also mit Monodromie  

Satz (Milnor): Sei   eine geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht  . Für die Eulerklasse eines linearen flachen Kreisbündels   über   gilt

 .

Insbesondere hat das Tangentialbündel einer geschlossenen, orientierbaren Fläche vom Geschlecht   keinen flachen Zusammenhang.

Satz (Wood): Sei   eine geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht  . Für die Euler-Klasse eines flachen Kreisbündels   über   gilt

 .

Der Satz von Milnor folgt aus dem Satz von Wood, weil man zu einer Darstellung   vermöge der 2-fachen Überlagerung   eine Darstellung   bekommt, deren Eulerzahl gerade die Hälfte der Eulerzahl der ursprünglichen Darstellung ist.

Aus dem Satz von Goldman folgt, dass die Darstellungen   mit   genau die diskreten und treuen Darstellungen sind.

Beschränkte Kohomologie

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Die Beweise von Milnor und Wood benutzten Abschätzungen für Kommutatoren in   bzw.  . Ein einfacherer auf Ghys und Jekel zurückgehender Beweis benutzt beschränkte Kohomologie: die universelle Eulerklasse in   lässt sich durch einen beschränkten Kozykel der Norm 1/2 repräsentieren.

Verallgemeinerungen

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Höherdimensionale Bündel

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Satz (Sullivan-Smillie): Für die Euler-Klasse eines flachen  -Bündels   über einer geschlossenen, orientierbaren Mannigfaltigkeit   gilt die Ungleichung

 

für die Eulerklasse   und das simpliziale Volumen  .

Man sagt, dass eine Mannigfaltigkeit   der Milnor-Wood-Ungleichung mit Konstante   genügt, wenn für jedes flache  -Bündel die Ungleichung

 

für die Eulerklasse   und die Euler-Charakteristik   gilt. Aus dem Satz von Milnor folgt   und aus einem Satz von Bucher-Gelander  .

Toledo-Invariante

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Sei   ein Hermitescher symmetrischer Raum nichtkompakten Typs vom Rang   und   die Kählerform der Bergman-Metrik. Dann gilt für eine stetige Abbildung   einer Fläche   vom Geschlecht   die Ungleichung

 .

Diese Ungleichung lässt sich interpretieren als Abschätzung für die Norm der Kählerklasse (und damit der Toledo-Invariante) in beschränkter Kohomologie. Sie verallgemeinert die Abschätzung der Eulerklasse für  .

Literatur

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  • J. Milnor: On the existence of a connection of curvature zero, Comm. Math. Helv. 21, 215–223 (1958)
  • J. Wood: Bundles with totally disconnected structure group, Comm. Math. Helv. 46, 257–273 (1971)
  • W. Goldman: Topological components of spaces of representations, Invent. Math. 93, 557–607 (1988)
  • M. Burger, A. Iozzi, A. Wienhard: Surface group representations with maximal Toledo invariant, Ann. Math. 172, 517–566 (2010)
  • T. Hartnick, A. Ott: Milnor-Wood type inequalities for Higgs bundles, online (PDF; 383 kB)