In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Mathieu-Gruppe M22 eine einfache Gruppe mit 443520 Elementen. Sie gehörte zu den ersten fünf im 19. Jahrhundert entdeckten sporadischen Gruppen, die heute als Mathieu-Gruppen bezeichnet werden. Namensgeber ist der französische Mathematiker Émile Léonard Mathieu.

Konstruktion

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Sei   der Körper mit 4 Elementen und   die projektive Ebene über  .

Wir definieren ein System  ,

  • dessen “Punkte” die Punkte aus   und zusätzlich ein Punkt   sind,
  • dessen “Standardblöcke” die um   ergänzten Geraden aus   sind,
  • dessen “Nichtstandardblöcke” die Bilder des Ovals   unter der Wirkung der projektiven speziellen Gruppe   sind.

Die Menge der Punkte wird mit   bezeichnet, die Menge der Blöcke (standard oder nichtstandard) mit  . Als Automorphismus von   bezeichnet man Permutationen von  , die Mengen aus   auf Mengen aus   abbilden. Ein gerader Automorphismus ist ein Automorphismus, der eine gerade Permutation von   ist.

Die Mathieu-Gruppe   ist die Gruppe der geraden Automorphismen von  .

Sie wirkt 3-transitiv auf   und transitiv auf  .

Literatur

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  • Oleg Bogopolski: Introduction to Group Theory. EMS Textbooks in Mathematics. Zürich: European Mathematical Society 2008, ISBN 978-3-03719-041-8/hbk