Der Lp-Ergodensatz, auch statistischer Ergodensatz genannt, ist ein zentraler Satz der Ergodentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das in dem Bereich zwischen Maßtheorie, Theorie dynamischer Systeme und Wahrscheinlichkeitstheorie anzusiedeln ist. Er beschäftigt sich damit, unter welchen Umständen bei der Iteration einer Abbildung die Mittelwerte über die Iterationen mit den Mittelwerten der Funktion übereinstimmen. Im Gegensatz zum individuellen Ergodensatz beschäftigt sich der -Ergodensatz mit der Konvergenz im p-ten Mittel und nicht mit der fast sicheren Konvergenz. Der Satz wurde 1930/31 von John von Neumann bewiesen, jedoch erst 1932 veröffentlicht[1]. Ein kompakter Beweis ist beispielsweise mittels des Hopf'schen Maximal-Ergodenlemmas und des individuellen Ergodensatzes möglich. Der Satz lässt sich auch allgemeiner auf Hilberträumen mit isometrischen Operatoren und der Normkonvergenz formulieren.

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum   und   eine maßerhaltende Abbildung sowie   die σ-Algebra der T-invarianten Ereignisse. Sei   der Raum aller  -fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe auch Lp-Raum), kurz mit   bezeichnet, sowie   der bedingte Erwartungswert von   bezüglich der σ-Algebra  .

Ist  , dann gilt für alle  , dass auch   in   liegt und

 .

Hierbei bezeichnet   die Lp-Norm.

Ist   P-trivial (bzw. äquivalent dazu   eine ergodische Transformation), so gilt   und demnach

 .

Die Mittelwerte der iterierten Abbildungen konvergieren also im p-ten Mittel gegen den (bedingten) Erwartungswert.

Anwendung in der Stochastik

Bearbeiten

Der  -Ergodensatz lässt sich wie folgt auf stochastische Prozesse anwenden: Dazu betrachtet man einen kanonischen Prozess   auf dem Wahrscheinlichkeitsraum  , wobei   ein polnischer Raum wie beispielsweise eine endliche oder abzählbar unendliche Menge oder der   ist. Die Transformation definiert man dann als den Shift  , der gegeben ist durch

 .

Für den stochastischen Prozess gilt also   und   ist genau dann ein maßerhaltendes dynamisches System, wenn   ein stationärer stochastischer Prozess ist.

Setzt man nun  , wobei   sein soll, sowie  , so folgt, dass für stationäre Prozesse

 

gilt. Ist   wieder eine P-triviale σ-Algebra (bzw.   eine ergodische Transformation oder   ein ergodischer stochastischer Prozess), so folgt genauso wie oben, dass   ist.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 454
Bearbeiten

Literatur

Bearbeiten