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Lorentzsche Mannigfaltigkeit

Topologischer Raum mit Lorentz Metrik
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Eine lorentzsche Mannigfaltigkeit oder Lorentz-Mannigfaltigkeit (nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz) ist eine Mannigfaltigkeit mit einer Lorentzmetrik. Sie ist ein Spezialfall einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit mit der Metrik-Signatur (-,+,+,+,...). Lorentzmannigfaltigkeiten sind für die allgemeine Relativitätstheorie von entscheidender Bedeutung, da dort die Raumzeit als vierdimensionale lorentzsche Mannigfaltigkeit modelliert wird.

Punktrelationen und Gliederung der MannigfaltigkeitBearbeiten

Da die lorentzsche Metrik   im Gegensatz zur riemannschen nicht positiv definit ist, treten drei verschiedene Arten von Tangentialvektoren   an die Mannigfaltigkeit auf:

  • zeitartige Vektoren mit  ,
  • raumartige Vektoren mit  ,
  • lichtartige Vektoren mit  , deshalb auch Nullvektoren genannt.

Nicht-raumartige Vektoren (also solche mit  ) werden auch kausale Vektoren genannt. Kurven in der Mannigfaltigkeit werden als zeitartig, raumartig, lichtartig, kausal bezeichnet, wenn die Tangentialvektoren an die Kurve auf gesamter Länge der Kurve der entsprechenden Kategorien angehören.

Man kann nun Punktpaaren in der Mannigfaltigkeit ihre Relation zuordnen. Wenn eine stückweise glatte zeitartige Kurve zwischen den Punkten existiert liegt ein Punkt in der Zukunft des anderen. Die zeitartige Zukunft bzw. der Inhalt des Lichtkegels eines Punktes   ist die Menge aller Punkte   die von   aus mit einer zukunftsgerichteten stückweise glatten zeitartigen Kurve erreicht werden. Sie wird mit   bezeichnet. Die kausale Zukunft   ist analog die Menge aller Punkte die mit stückweise glatten kausalen Kurven erreicht werden. Entsprechend definiert man die zeitartige und kausale Vergangenheit   und  .

Lorentzsche LängeBearbeiten

Die lorentzsche Länge einer glatten kausalen Kurve   ist

 

t ist ein beliebiger Kurvenparameter, nicht notwendig die Zeit.

Im Unterschied zur riemannschen Geometrie ist das Infimum der lorentzschen Länge aller glatten Kurven zwischen zwei zeitartig auseinanderliegenden Punkten immer null. Jedoch die zeitartige Geodäte zwischen diesen zwei Punkten hat, wenn sie existiert, die größte lorentzsche Länge unter allen kausalen Kurven zwischen diesen beiden Punkten.

Lorentzscher AbstandBearbeiten

Als lorentzscher Abstand   zwischen zwei Punkten   und   wird nun das Supremum der lorentzschen Länge über alle kausalen Kurven von   nach   gewählt, wenn   in   liegt, ansonsten definiert man  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • John K. Beem, Paul E. Ehrlich, Kevin L. Easley: Global Lorentzian Geometry (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 202). 2nd Edition. Marcel Dekker Inc., New York NY u. a. 1996, ISBN 0-8247-9324-2.