Lindeberg-Bedingung

mathematischer Satz

Die Lindeberg-Bedingung ist ein Begriff aus der Stochastik. Erfüllt eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen diese Bedingung, so gilt für sie der Zentrale Grenzwertsatz, auch wenn die Zufallsvariablen nicht zwingenderweise identisch verteilt sind. Allgemeiner lässt sich die Lindeberg-Bedingung auch für Schemata von Zufallsvariablen formulieren, hier ist dann sogar ein gewisses Maß an Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen zulässig. Diese Formulierung spielt eine wichtige Rolle im zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller, einer Verallgemeinerung des "gewöhnlichen" zentralen Grenzwertsatzes.

Die Lindeberg-Bedingung wurde nach dem finnischen Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg benannt. Eine weitere hinreichende Bedingung für den zentralen Grenzwertsatz ist die Ljapunow-Bedingung.

Formulierung für Folgen von ZufallsvariablenBearbeiten

Seien   unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen mit   für alle   und seien

 .

Gilt dann die Lindeberg-Bedingung

  ,

wobei   die Indikatorfunktion bezeichnet, so genügt die Folge   dem zentralen Grenzwertsatz, d. h. die Größe

 

konvergiert in Verteilung für   gegen eine standardnormalverteilte Zufallsgröße  , sprich

  ,

wobei hier   die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung beschreibt.

UmkehrungBearbeiten

Die Umkehrung des obigen Sachverhaltes gilt i. A. nicht. Hierfür ist eine zusätzliche Forderung an die Folge   notwendig:

Die unabhängige Folge   quadratisch integrierbarer, reeller Zufallsvariablen mit   genüge dem zentralen Grenzwertsatz und erfülle weiter die Feller-Lévy-Bedingung[1]

  .

Dann erfüllt die Folge   auch die Lindeberg-Bedingung.

Formulierung für Schemata von ZufallsvariablenBearbeiten

Gegeben sei ein zentriertes Schema von Zufallsvariablen  , bei dem jede Zufallsvariable   quadratintegrierbar ist und seien

 

die Summen über die zweiten Indizes. Das Schema erfüllt nun die Lindeberg-Bedingung, wenn für jedes   gilt, dass

 

ist.

LiteraturBearbeiten

WeblinkBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Feller-Lévy Condition. In: MathWorld (englisch).