Schema von Zufallsvariablen

Überblick über das Schema von Zufallsvariablen

Ein Schema von Zufallsvariablen, auch Dreiecksschema genannt, bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Verallgemeinerung einer Folge von Zufallsvariablen, bei der die Zufallsvariablen über einen zweiten Index in kleinere Gruppen zusammengefasst werden. Dies hat den Vorteil, dass man gewisse Eigenschaften (Normiertheit, Zentriertheit, Unabhängigkeit) nur für diese Untergruppen fordern muss und nicht für die gesamte Folge und dabei trotzdem noch gewisse Aussagen treffen kann. Schemata von Zufallsvariablen spielen eine Rolle bei dem zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller, einer Verallgemeinerung des zentralen Grenzwertsatzes für Partialsummen von Schemata von Zufallsvariablen.

DefinitionBearbeiten

Für jedes   sei ein   gegeben und Zufallsvariablen  . Dann heißt

 

ein Schema von Zufallsvariablen. Die Zufallsvariablen werden also immer in Gruppen der Größe   zusammengefasst.

BeispielBearbeiten

Gegeben sei eine Folge   unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen. Wir setzen der Einfachheit halber   für alle  . Die Gruppen bestehen also alle aus 4 Zufallsvariablen. Das Schema ist nun definiert als

 .

Es werden also immer Teilsummen der Folgen gebildet, welche die Länge   haben und sich gegenseitig nicht überlappen. Ausgeschrieben würde das Schema so aussehen:

 

PräzisierungenBearbeiten

Wie auch bei Folgen von Zufallsvariablen lassen sich für Schemata von Zufallsvariablen noch einige Präzisierungen des Begriffs angeben.

Unabhängiges SchemaBearbeiten

Ein Schema von Zufallsvariablen heißt ein unabhängiges Schema, wenn für alle   die Zufallsvariablen   stochastisch unabhängig sind.

Zentriertes SchemaBearbeiten

Ein Schema von Zufallsvariablen heißt ein zentriertes Schema, wenn   ist für alle  .

Normiertes SchemaBearbeiten

Ein Schema von Zufallsvariablen heißt ein normiertes Schema, wenn für alle   gilt, dass

 

ist.

Asymptotisch vernachlässigbares SchemaBearbeiten

Ein zentriertes Schema von Zufallsvariablen heißt asymptotisch vernachlässigbares Schema, wenn

 

ist für jedes  .

BeispieleBearbeiten

  • Das oben betrachtete Schema ist ein unabhängiges Schema, denn Teilsummen von Folgen unabhängiger Zufallsvariablen, die keine Summanden gemeinsam haben, sind wieder unabhängig. Hat   den Erwartungswert 0, so haben auch alle Teilsummen den Erwartungswert 0 und damit handelt es sich dann auch um ein zentriertes Schema. Über Normiertheit oder asymptotische Vernachlässigbarkeit lässt sich ohne weitere Angaben über die Zufallsvariablen nichts aussagen.
  • Ist   eine Folge unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen mit gemeinsamen Erwartungswert   und Varianz  , dann ist durch
 
mit  ,   ein unabhängiges, zentriertes, normiertes und asymptotisch vernachlässigbares Schema gegeben.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten