Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

Die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung (mit englischer Transkription im Deutschen gelegentlich auch Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung genannt) beschreibt in der Festkörperphysik das Zeitverhalten der magnetischen Momente (bzw. der Magnetisierungsdichte) eines ferromagnetischen Materials in Abhängigkeit vom sogenannten effektiven magnetischen Feld. Das effektive magnetische Feld setzt sich unter anderem aus externen Magnetfeldern und internen Wechselwirkungen wie magnetischer Anisotropie, Austauschwechselwirkung und dipolarer magnetischer Wechselwirkung zusammen. Thermische Eigenschaften können durch einen stochastischen Anteil beschrieben werden. In diesem Fall wird die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung als Langevin-Gleichung interpretiert. Die Wechselwirkung mit freien elektrischen Strömen oder elektromagnetischen Wellen wird durch Kopplung mit den Maxwell-Gleichungen beschrieben. Die Anwendungen sind sehr weitreichend, Beispiele sind die Berechnung von Hysteresekurven, die Simulation mikromagnetischer Strukturen z. B. zur Erforschung magnetischer Speichermedien, in der Materialforschung z. B. in Verbindung mit Neutronenstreuung und Hyperthermie in Verbindung mit magnetischen Nanopartikeln. Benannt ist sie nach Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz[1] und Thomas L. Gilbert.[2][3] Unter Berücksichtigung der Wechselwirkungen in realen Materialien sind keine expliziten Lösungen der Landau-Lisfhitz-Gilbert-Gleichung bekannt. Open-Source-Software zur Simulation der Landau-Lifshitz-Gleichung sind z. B. mumax3,[4] VAMPIRE,[5] OOMMF[6] und MicroMagus[7].

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Klassischer Zugang zur Spindynamik (Dynamik des magnetischen Moments)

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Larmor-Gleichung

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Der klassische Ansatz zur Dynamik des magnetischen Moments   basiert auf der Verknüpfung von Resultaten aus der klassischen Mechanik und der klassischen Elektrodynamik. Zum einen wird aus der klassischen Mechanik der Drallsatz herangezogen, der die Zeitableitung des Drehimpulses   mit einem eingeprägten Drehmoment   (hier   für torque, da im Magnetismus   für die Magnetisierung verwendet wird) verknüpft:

 

Ein Ergebnis der klassischen Elektrodynamik ist, dass das Drehmoment, das herrührend von einem externen Magnetfeld   an einem magnetischen Moment   wirkt, durch die nachstehende Formel beschrieben ist (hier hat das magnetische Moment die Einheit   und das Magnetfeld (magnetische Flussdichte) die Einheit   (Tesla)):

 

Durch Verknüpfung der Gleichungen (1) und (2) erhält man eine Beschreibung der zeitlichen Drehimpulsänderung eines „Objektes“ mit magnetischem Moment  , befindlich in einem externen Magnetfeld  :

 

In den folgenden Schritten wird nun der Drehimpuls   mit dem magnetischen Moment   verknüpft, sodass Gleichung (3) in eine geschlossene Differentialgleichung zur Beschreibung der Dynamik des magnetischen Moments   überführt werden kann. Aus der klassischen Mechanik ist bekannt, dass der Drehimpuls eines Systems durch den Hebelarm   und den Impuls   (bzw. Geschwindigkeit  , gemäß  , wobei hier mit   die Elektronenmasse herangezogen wird, die effektive Massendichte ist   und   die Anzahl an Elektronen) beschrieben wird:

 

Das magnetische Moment   einer lokalisierten elektrischen Stromdichte  , mit Geschwindigkeitsfeld   und elektrischer Ladungsdichte   (wobei wir als effektive Elektronenladungsdichte   heranziehen, mit   der Anzahl an Elektronen) ist gegeben durch:

 

Man beachte an dieser Stelle, dass es sich eigentlich um eine quasi-klassische Betrachtung handelt, da das Bohr-van-Leeuwen-Theorem hier nicht berücksichtigt wird! Nach diesem ist der Magnetismus bei Festkörpern ein rein quantenmechanischer Effekt.

Mit den Gleichungen (4) und (5) findet sich eine Relation zwischen magnetischem Moment   und Drehimpuls   (magnetisches Moment des Bahndrehimpulses eines Elektrons):[8]

 

Nun lässt sich der Drehimpuls   in Gleichung (3) durch Gleichung (6) substituieren, woraus die Larmor-Gleichung folgt, welche die Präzession (Larmor-Präzession) des magnetischen Moments   in Anwesenheit eines externen Magnetfeldes   beschreibt:

 

Die Konstante   wird dabei als klassisches gyromagnetisches Verhältnis definiert (je nach Konvention wird das gyromagnetische Verhältnis positiv oder negativ definiert, was zur Folge hat, dass sich auch das Vorzeichen in der Larmor-Gleichung (7) ändert):

 

Eine wichtige Eigenschaft der Larmor-Gleichung ist, dass die Vektornorm   erhalten bleibt (  und   sind orthogonal zueinander):

 

Aufgrund der Erhaltung der Amplitude des magnetischen Moments wird typischerweise in Computersimulationen die Bewegungsgleichung so skaliert, dass das magnetische Moment   nur einem Einheitsvektor entspricht und die physikalischen Kofaktoren in   enthalten sind.

Landau-Lifshitz-Gleichung (LL)

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Da die Larmor-Gleichung (7) bei konstantem Magnetfeld   nur zu einer Präzessionsbewegung des magnetischen Moments   führt – aus Experimenten zu ferromagnetischen Materialien aber bekannt ist, dass die Magnetisierung ein Sättigungsverhalten aufweist (bei „starken“ eingeprägten Magnetfeldern gilt   im stätionären Grenzwert) –, wurde von Landau und Lifshitz 1935 ein phänomenologischer Dämpfungsterm, der zu Gleichung (7) hinzuaddiert wird, eingeführt. Dabei wurde der Dämpfungsterm so formuliert, dass die Erhaltung der Amplitude des magnetischen Moments gültig bleibt. Die Landau-Lifshitz-Gleichung ist wie folgt angebbar:[9][10]

 

In dieser Form der Landau-Lifshitz-Gleichung wird davon ausgegangen, dass   einem Einheitsvektor ohne physikalische Einheit entspricht. D. h., der physikalische Bezug zu einem Einheitssystem ist durch die Konstanten   gegeben. Weiters ist in Gleichung (10) zu beachten, dass es sich um die Formulierung für ein einziges magnetisches Moment handelt. In der mikromagnetischen Formulierung wird hingegen die Dynamik des Magnetisierungs-Vektorfeldes   mit der Sättigungsmagnetisierung   als Amplitude beschrieben. Es wird z. B. folgende Formulierung verwendet:

 

Auch hier werden je nach Autor und Anwendungsgebiet unterschiedliche Vorzeichenkonventionen des Präzessionsterms verwendet.[1][9][10][11] Weiters wird im Mikromagnetismus die effektive magnetische Feldstärke   anstelle der magnetischen Flussdichte verwendet, die wiederum unter anderem eine Funktion der Magnetisierung   ist. D. h., die magnetischen Eigenschaften eines Materials sind in der Relation zwischen   und   kodiert.

Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung (LLG)

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Die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung ist eine zu Gleichung (10) äquivalente Gleichung und lässt sich durch Umformung aus der Landau-Lifshitz-Gleichung (10) herleiten (Herleitung von (11) ausgehend ist ebenfalls analog möglich). Umgekehrt ist auch die Landau-Lifshitz-Gleichung aus der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung herleitbar. In der folgenden Herleitung wird der Einfachheit halber die Notation   verwendet. Im ersten Schritt wird das Kreuzprodukt   betrachtet, wobei aus Gleichung (10) folgt:

 

In Gleichung (12) ist der Term mit Kofaktor   wiederum mit Hilfe der Landau-Lifshitz-Gleichung (10) darstellbar. Zunächst wird Gleichung (10) wie folgt umgestellt:

 

Weiters vereinfacht sich das Dreifach-Kreuzprodukt in Gleichung (12) unter der Annahme, dass   ein Einheitsvektor ist, wie folgt:

 

Durch Verwendung der Gleichungen (13) und (14) in Gleichung (12) ergibt sich:

 

Durch Umstellung von Gleichung (15) nach   findet man:

 

Mit den Definitionen[9]

 

schreibt sich einfacher:[9]

 

Diese Gleichung wird als Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung bezeichnet.

Zu den Definitionen (17) git es eine eindeutige Umkehrung:

 

Landau-Lifschitz-Gleichung

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Die ursprüngliche Landau-Lifschitz-Gleichung wurde im Jahr 1935 aufgestellt. Sie lautet

 

und beschreibt sowohl die Präzession der magnetischen Momente als auch die auftretende Dissipation. Dabei bezeichnet

  •   die Magnetisierung,
  •   das effektive Magnetfeld,
  •   einen phänomenologischen (kleinen) Dämpfungsparameter und
  •   das gyromagnetische Verhältnis des Elektrons mit dem Landé-Faktor  , der Elementarladung   und der Elektronenmasse  .

Der erste Term beschreibt die Präzession, der zweite die Dissipation. Dabei bleibt der Betrag von   erhalten, denn es gilt:

 

Diesen konstanten Betrag nennt man die Sättigungsmagnetisierung  .

In der stationären Lösung des Systems, zu der das System strebt, wenn es sich selbst überlassen wird, stehen Magnetisierung und effektives magnetisches Feld parallel zueinander.

Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung

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1955 führte Gilbert eine Herleitung der Landau-Lifshitz-Gleichung auf der Basis des Lagrange-Formalismus durch. Er konnte zeigen, dass eine rigorose quantenstatistische Rechnung dasselbe Ergebnis liefert wie die Hinzufügung einer klassischen Rayleighschen Dissipationsfunktion zur Lagrangefunktion. Mit dieser gelangt man zu der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung:

 

Wird diese Gleichung iteriert in sich eingesetzt, ergibt sich eine Form, die der der Landau-Lifshitz-Gleichung entspricht:

 

Der einzige Unterschied ist, dass das gyromagnetische Verhältnis durch ein effektives gyromagnetisches Verhältnis ersetzt wird, das vom Dämpfungsparameter abhängig ist. Wie in der Mechanik beim gedämpften Oszillator wirkt sich die Dämpfung somit auf die Präzessionsfrequenz aus. Für den Fall kleiner Dämpfung geht die Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung in die Landau-Lifshitz-Gleichung über.

Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung unter Berücksichtigung von Trägheitseffekten

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Eine Erweiterung der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung zur Berücksichtigung von Trägheitseffekten, die z. B. zu Nutationsbewegungen führen, beinhaltet einen Zusatzterm mit einer Zeitableitung zweiter Ordnung:

 

In der Literatur wird oft auch eine negierte Variante dieser Gleichung verwendet, was eine gegenläufige Dynamik beschreibt. Um es in diesem Artikel konsistent zu halten, wird die Notation der Gleichungen aus den vorigen Abschnitten beibehalten. Der Parameter   wird in Analogie zur klassischen Mechanik als magnetisches Trägheitsmoment bezeichnet (magnetic moment of inertia).[12][13]

Das „effektive Feld“

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Landau und Lifschitz haben 1935 noch angegeben, wie der Vektor   von allen vier beteiligten Wechselwirkungen (der „magnetischen Austauschenergie“, der „Dipol-Dipol-Energie“, der „Anisotropieenergie“ und der „Zeeman-Energie“) abhängt. Das effektive Feld  wird in der Regel zunächst durch ein Energiefunktional   (einen Hamiltonian) repräsentiert und ergibt sich folglich aus der ersten Variation nach der Magnetisierung  . Dabei stellen   die Energie der Austauschwechselwirkung,   die Energie der Dzyaloshinkii-Moriya-Wechselwirkung,   die Energie der magnetokristallinen Wechselwirkung,   die Energie der magnetoelastischen Wechselwirkung,   die Energie der Wechselwirkung mit externen Feldern (Zeeman-Wechselwirkung) und   die Energie der Dipol-Dipol-Wechselwirkung dar.[14][15][16]

 

In der nachfolgenden Tabelle sind die Energien für den mesoskopischen Fall angegeben. Auf kleineren Längenskalen sind andere Ausdrücke zu verwenden, welche die Energien auf atomarer Ebene (diskret, nicht-kontinuierlich) beschreiben. Die Energien der magnetokristallinen und magnetoelastischen Anisotropie hängen von der Gitterstruktur des Materials ab.[17] Daher sind hier keine expliziten Ausdrücke der Energiedichten angegeben.

Wechselwirkungen der mikromagnetischen Feldtheorie
Hamiltonian (Energie)
Magnetische Austauschwechselwirkung  
Magnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung

(Demagnetisierungs-Feld)

 
Magnetokristalline Anisotropie  
Magnetoelastische Anisotropie  
Zeeman-Wechselwirkung  
Dzyaloshinskii-Moriya-Wechselwirkung  

Spinwellen u. Ä.

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Eine sog. Spinwelle in einem ferromagnetischen Festkörper

Mit den Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichungen können u. a. auch dynamische Zustände (z. B. Spinwellen, wie im nebenstehenden Bild) realistisch behandelt werden, wobei alle relevanten Geometrien (beispielsweise auch Dünnschicht-Geometrien) und Wechselwirkungen (u. a. auch die sehr langreichweitige magnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung) voll berücksichtigt werden können, wenn man bei den Computersimulationen hohen Speicherbedarf und entsprechende Rechenzeiten in Kauf nimmt.[18]

Die Dispersionsrelationen in diesen Systemen – das sind die Beziehungen zwischen Frequenz und Wellenlänge der Anregungszustände – sind wegen der hohen Zahl der charakteristischen Längen des Systems und der beteiligten Winkel sehr komplex.

Dispersionsrelation einer einfachen Spinwelle

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Angenommen wird ein eindimensionales System mit magnetischer Austauschwechselwirkung. Der Hamiltonian wird in diesem Fall wie folgt aufgeschrieben:

 

Wir nehmen weiterhin an, dass das System einphasig ist und der Magnetisierungsvektor durch   beschrieben ist, wobei   der konstanten Sättigungsmagnetisierung und   einem Einheitsvektor entspricht. Das effektive Feld lässt sich dann durch die erste Variation des Hamiltonian ableiten:

 

Zur Einfachheit wird nun die Dynamik der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung mit vernachlässigter Dämpfung betrachtet. Es findet sich:

 

Dies ist eine partielle Differentialgleichung, die keine einfache Lösung besitzt. Daher wird ein Ansatz nahe der Sättigung, z. B. Sättigung in  -Richtung, zur Näherungslösung verwendet. Dabei wird der Magnetisierungs-Einheitsvektor als   angenommen, wobei die transversalen Komponenten   kleine Perturbationen zum Sättigungszustand sind. Bei weiterer Vernachlässigung nichtlinearer Beiträge ergibt sich das folgende lineare System für die transversalen Komponenten:

 

Mittels Fourier-Transformation lässt sich dieses Differentialgleichungssystem wie folgt umformen und in Matrix-Vektor-Form bringen:

   

Das Nullstellenproblem der Determinante dieser Systemmatrix   führt dann zur Dispersionsrelation für das linearisierte System:

 

Alternativ lässt sich das System partieller Differentialgleichungen entkoppeln, indem die zweite partielle Zeitableitung ermittelt wird:

 

Durch Einsetzen der ersten Zeitableitungen findet sich für die transversalen Komponenten jeweils eine biharmonische Wellengleichung (biharmonisch wegen der örtlichen Ableitung vierter Ordnung):

 

Mit dieser Betrachtung lässt sich also bereits einer der wesentlichen Unterschiede von Spinwellen (oder Mangonen) im Vergleich zu Phononen (oder Gitterwellen) zeigen. Für Phononen hat die einfachste Dispersionsrelation (akustische Phononen) eine lineare Abhängigkeit  .

Lösungen zum Einkörperproblem der Landau-Lifshitz-Gleichung

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In diesem Abschnitt ist die Lösung der Landau-Lifshitz-Gleichung für ein magnetisches Moment (Einpartikel-System) unter dem Einfluss eines homogenen effektiven Feldes   präsentiert. Die besagte Problemstellung ist nachfolgend dargestellt, wobei die Konstante   als Platzhalter dient. Durch Anpassung der Kofaktoren   ergibt sich die Lösung der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung auch im Falle eines homogenen effektiven Feldes.

 
 

Die Lösung dieser Differentialgleichung findet man am einfachsten durch die Zerlegung von   in einen orthogonalen und parallelen Anteil bezüglich  . Ohne Einschränkung der Allgemeinheit lässt sich   ansetzen, wobei die nachfolgende Parametrisierung, wie sich zeigt, zur Problemstellung passt. Alle weiteren Lösungen zu beliebig anderen Richtungen von   finden sich mit Hilfe der Anwendung von Rotationsmatrizen.

 
Darstellung der Lösung der Landau-Lifshitz Gleichung bei konstantem effektivem Feld. Die Richtungen des Präzessions- und Dämpfungsterms, sowie der Zeitableitung des magnetischen Moments sind durch die Pfeile repräsentiert.
 

So reduziert sich die Landau-Lifshitz-Gleichung durch Transformation auf zwei lineare Differentialgleichungen der Form:

 

Die Lösungen dieser Differentialgleichungen findet sich durch direkte Integration:

 

Im Falle eines zeitkonstanten effektiven Feldes   und   führt das magnetische Moment eine reine Präzessionsbewegung aus. Die Lösung ist dabei gegeben durch die folgende Gleichung, wobei die Frequenz der Präzession auch als Larmor-Frequenz   bezeichnet wird:

 

Im Falle eines zeitkonstanten effektiven Feldes   und   findet sich hingegen die Lösung:[19]

 
 
In dieser Abbildung ist das Zeitverhalten der Dämpfung der Landau-Lifshitz-Gleichung im Falle eines zeitkonstanten, homogenen effektiven Feldes dargestellt. Die Achsen des Graphen sind logarithmisch skaliert. Die Zeitkonstante teq gibt an, zu welchem Zeitpunkt der Gleichgewichtszustand zu 99,9 % erreicht ist.

In der nebenstehenden Abbildung ist diese Lösung bildlich dargestellt. Die Spitze des magnetischen Moments   führt eine spiralförmige Bewegung auf einer Kugeloberfläche mit Radius   aus und zeigt im stationären Endwert parallel zum effektiven Feld.

Zur Abschätzung des Zeitverhaltens der Dämpfung bietet es sich an, den Parameter   in Abhängigkeit vom Winkel   zwischen dem Anfangswert der Magnetisierung   und dem effektiven Feld   zu beschreiben. Hierzu ist die geometrische Eigenschaft des Skalarproduktes hilfreich:

 

Im stationären Gleichgewicht für   streben die Werte der Funktion   gegen  . Deshalb lässt sich folgende Gleichung zu Abschätzung ansetzen:

 

Literatur

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  • Soshin Chikazumi: Physics of Ferromagnetism. Clarendon Press, Oxford 1997, Kapitel 20.4 (Spin Dynamics), S. 562.
  • M. Lakshmanan: The fascinating world of the Landau–Lifshitz–Gilbert equation: An overview. Phil. Trans. R. Soc. A, Band 369, 2010, S. 1280–1300, Arxiv.
  • E. M. Lifschitz, L. P. Pitajewski: Landau, Lifschitz. Lehrbuch der Theoretischen Physik. Band IX: Statistische Physik, Teil 2, Kapitel VII (Der Magnetismus), Paragraph 69 (Die Bewegungsgleichung des Magnetischen Moments in einem Ferromagneten), Akademie Verlag, Berlin 1989, S. 287 ff. (Gleichung (69,9) ist die Landau-Lifshitz-Gleichung).[20]
  • Andreas Prohl: Computational Micromagnetism. Teubner, 2001, S. 121 ff.
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Einzelnachweise und Fußnoten

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  1. a b L. D. Landau und J. M. Lifschitz: Theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies. In: Phys. Z. Sowjetunion. Band 8, 1935, S. 153.
  2. T. L. Gilbert: A Lagrangian formulation of the gyromagnetic equation of the magnetic field. Phys. Rev., Band 100, 1955, S. 1243.
  3. T. L. Gilbert: A Phenomenological Theory of Damping in Ferromagnetic Materials. In: IEEE Transactions on Magnetics. Band 40, Nr. 6, November 2004, ISSN 0018-9464, S. 3443–49, doi:10.1109/tmag.2004.836740.
  4. mumax3. Abgerufen am 10. Juli 2024.
  5. VAMPIRE. Abgerufen am 10. Juli 2024.
  6. OOMMF Project at NIST. Abgerufen am 10. Juli 2024.
  7. MicroMagus. Software package for micromagnetic simulations. Abgerufen am 10. Juli 2024 (englisch).
  8. J. D. Jackson: Classical Electrodynamics. Wiley, New York 1998, ISBN 978-0-471-30932-1.
  9. a b c d Ivan Cimrák: A Survey on the numerics and computations for the Landau-Lifshitz equation of micromagnetism. In: Archives of Computational Methods in Engineering. Band 15, Nr. 3, 1. September 2007, ISSN 1886-1784, S. 1–37, doi:10.1007/BF03024947.
  10. a b Amikam Aharoni, Anthony Arrott: Introduction to the Theory of Ferromagnetism. In: Physics Today. Band 50, Nr. 9, 1. September 1997, ISSN 0031-9228, S. 66–68, doi:10.1063/1.881916 (scitation.org [abgerufen am 10. Juli 2024]).
  11. U. Atxitia, D. Hinzke, U. Nowak: Fundamentals and applications of the Landau–Lifshitz–Bloch equation. In: Journal of Physics D: Applied Physics. Band 50, Nr. 3, 25. Januar 2017, ISSN 0022-3727, S. 033003, doi:10.1088/1361-6463/50/3/033003 (iop.org [abgerufen am 10. Juli 2024]).
  12. D. Böttcher, J. Henk: Significance of nutation in magnetization dynamics of nanostructures. In: Physical Review B. Band 86, Nr. 2, 18. Juli 2012, ISSN 1098-0121, doi:10.1103/physrevb.86.020404.
  13. E. Olive, Y. Lansac, M. Meyer, M. Hayoun, J.-E. Wegrowe: Deviation from the Landau-Lifshitz-Gilbert equation in the inertial regime of the magnetization. In: Journal of Applied Physics. Band 117, Nr. 21, 7. Juni 2015, ISSN 0021-8979, S. 213904, doi:10.1063/1.4921908.
  14. Andreas Michels: Magnetic Small-Angle Neutron Scattering. Oxford University Press, 2021, doi:10.1093/oso/9780198855170.001.0001.
  15. John M. D. Coey: Magnetism and magnetic materials. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-511-84500-0.
  16. Daniel C. Mattis: The Theory of Magnetism Made Simple. WORLD SCIENTIFIC, 2006, ISBN 978-981-238-579-6.
  17. S. J. Blundell: Micromagnetism and the Microstructure of Ferromagnetic Solids, by Helmut Kronmüller and Manfred Fähnle. In: Contemporary Physics. Band 52, Nr. 2, März 2011, ISSN 0010-7514, S. 157–157, doi:10.1080/00107514.2010.534181.
  18. J. Miltat, G. Albuquerque, A. Thiaville: An Introduction to Micromagnetics in the Dynamic Regime. In: B. Hillebrands, K. Ounadjela (Hrsg.): Topics in Applied Physics Bd. 83: Spin Dynamics in Confined Magnetic Structures I. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-41191-7, S. 1–34, doi:10.1007/3-540-40907-6_1 (springer.com [PDF; abgerufen am 10. Juli 2024]).
  19. R. F. L. Evans, W. J. Fan, P. Chureemart, T. A. Ostler, M. O. A. Ellis, R. W. Chantrell: Atomistic spin model simulations of magnetic nanomaterials. In: Journal of Physics: Condensed Matter. Band 26, Nr. 10, 19. Februar 2014, doi:10.1088/0953-8984/26/10/103202.
  20. Im Band des Landau-Lifschitz zur Elektrodynamik der Kontinua (Band VIII, 5. Auflage, Akademie Verlag 1990) wird die Landau-Lifshitz-Gleichung nur in einer Übungsaufgabe in Kapitel IX (Elektromagnetische Wellengleichungen), Paragraph 79 (Dispersion der magnetischen Permeabilität), S. 339, behandelt.