Der LLL-Algorithmus ist ein nach Arjen Lenstra, Hendrik Lenstra und László Lovász benannter, 1982 veröffentlichter Algorithmus, der für ein Gitter eine Basis aus möglichst kurzen Vektoren berechnet. Diese Vektoren sind Approximationen für die kürzesten voneinander linear unabhängigen Vektoren des Gitters. Bei seiner Entdeckung war der LLL-Algorithmus der erste effiziente Gitterreduktionsalgorithmus.

Kurze Gittervektoren

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Eine Gitterbasis lässt sich als Matrix   angeben. Der kürzeste Gittervektor minimiert die Norm des Vektors  , wobei   nicht alle gleich 0 sind. Der LLL-Algorithmus führt diese Minimierung bezüglich der euklidischen Norm durch.

LLL-Basen

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Definition

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Üblicherweise werden LLL-Basen über ihre QR-Zerlegung   definiert. Eine LLL-Basis   zum Reduktionsfaktor   wird über folgende zwei Eigenschaften definiert:

  1.   (Längenreduktion),
  2.   (LLL-Eigenschaft)

Dabei sind   die Einträge der Matrix  . Es wird angenommen, dass die QR-Zerlegung von   so durchgeführt wird, dass die Hauptdiagonale von   keine negativen Elemente enthält.

Der Reduktionsfaktor   gibt die Stärke der Reduktion an: Je näher er an 1 liegt, desto kürzer sind die Vektoren der reduzierten Basis. Für   ist nicht bekannt, ob es einen effizienten Algorithmus gibt.

Eigenschaften

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LLL-reduzierte Basen approximieren die kürzesten Vektoren mit einem Approximationsfaktor, der exponentiell in der Anzahl der Vektoren ist. Im Folgenden sei  . Offensichtlich ist  . Der  -te LLL-reduzierte Vektor   approximiert das  -te sukzessive Minimum   auf folgende Weise:  , wobei das  -te sukzessive Minimum die Länge des  -ten kürzesten Vektors ist, der von keiner Menge kürzerer Vektoren linear abhängig ist.

Algorithmus

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  1. Berechne die erste Spalte von  .
  2. Setze   (  ist die Spalte, die gerade bearbeitet werden soll; die ersten   Spalten sind immer LLL-reduziert)
  3. Solange   wiederhole: Berechne die  -te Spalte von  , längenreduziere sie (Algorithmus siehe unten). Prüfe, ob die LLL-Eigenschaft für die Spalten   und   erfüllt ist.
  4. Falls ja: Setze  
  5. Falls nein: Vertausche Spalten   und  , setze  .

Der Algorithmus folgt unmittelbar aus der Definition: Erzwinge Spalte für Spalte, dass   eine LLL-Basis ist. Längenreduktion lässt sich leicht herbeiführen. Lediglich die LLL-Eigenschaft ist kompliziert, weil sie indirekt weit voneinander entfernte Spalten in Beziehung bringt. Darum ist es nötig, Spalten zu vertauschen und wieder einen Schritt zurückzugehen.

Längenreduktion

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Die Matrix   ist eine obere Dreiecksmatrix mit positiver Diagonale. Ziel der Längenreduktion ist es, alle Nicht-Diagonalelemente möglichst (betragsmäßig) klein zu machen, ohne das Gitter zu verändern. Jede Zeile von   hat folgenden Aufbau: null oder mehr Nullen, das Diagonalelement, null oder mehr weitere Elemente. Dabei besitzen die Nullen schon den kleinstmöglichen Betrag. Die LLL-Eigenschaft sorgt dafür, dass das Diagonalelement nicht allzu groß sein kann. Die Längenreduktion bewirkt nun für alle folgenden Elemente, dass sie betragsmäßig höchstens halb so groß wie das Diagonalelement sind. Das lässt sich dadurch herbeiführen, dass für jedes zu große Nicht-Diagonalelement die Spalte, die das entsprechende Diagonalelement enthält, so oft addiert oder subtrahiert wird, bis das zu große Element betragsmäßig minimal ist. Der folgende Algorithmus längenreduziert die  -te Spalte von  :

  1. Für   wiederhole:
  2.  

Dabei ist   der  -te Spaltenvektor von   und   die Rundungsfunktion, die auf die nächste ganze Zahl rundet. Es ist wichtig, dass Schritt 2. mit fallendem und nicht mit steigendem   ausgeführt wird.

Anwendungen

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Eine erste hervorragende Anwendung erhielt der LLL-Algorithmus 1984 bei der Widerlegung der mit der Riemannschen Vermutung zusammenhängenden Mertensschen Vermutung durch Andrew Odlyzko und Herman te Riele.[1] Dabei wurde ein Gitter der Dimension 70 konstruiert und seine Basis reduziert, das es erlaubte, ein Problem der mehrdimensionalen inhomogenen diophantischen Approximation mit ausgewählten nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion näherungsweise zu lösen. 2006 wurde die Berechnung an Gittern der Dimension um 100 wiederholt und die Ergebnisse verbessert.[2]

Der Algorithmus findet Anwendung in vielen Bereichen, teilweise in modifizierter Version. Er lässt sich auch auf zum   isometrisch isomorphen Gittern anwenden, wobei die Reduktion dann bezüglich des dortigen Skalarprodukts durchgeführt wird. Ein eher unerwartetes Beispiel hierfür ist der Algorithmus von Unger[3] aus der Gruppentheorie, der zum Finden von irreduziblen Charakteren einer Gruppe verwendet wird.

Da in bestimmten Anwendungen des Algorithmus die anfangs vorliegenden Basisvektoren eine außerordentliche Länge aufweisen können, wurde angestrebt, seine Laufzeit in Abhängigkeit von dieser Länge zu verringern. Es wurden Varianten entwickelt, die eine quadratische Zeitkomplexität bezüglich der Bitlänge der Ausgangsdaten[4] oder sogar nahezu lineare Komplexität[5] besitzen.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. A. M. Odlyzko, H. J. J. te Riele: Disproof of the Mertens conjecture. (Memento vom 16. Februar 2013 im Internet Archive) J. reine angew. Math. 357 (1985), S. 138–160
  2. T. Kotnik, H. J. J. te Riele: Mertens conjecture revisited. ANTS 7 (Lecture Notes Computer Science 4076) (2006), S. 156–167
  3. William R. Unger: Computing the character table of a finite group, Journal of Symbolic Computation 41 (2006) No. 8, 847–862
  4. Phong Q. Nguyen, Damien Stehlé: An LLL algorithm with quadratic complexity.@1@2Vorlage:Toter Link/ftp.di.ens.fr (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im November 2022. Suche in Webarchiven) SIAM J. Comput. 39 (2009) Nr. 3, S. 874–903
  5. Andrew Novocin, Damien Stehlé, Gilles Villard: An LLL-reduction algorithm with quasi-linear time complexity. STOC 2011 (Symposium on Theory of Computing), S. 403–412
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