Eine Koszul-Vinberg-Algebra (auch Prä-Lie-Algebra) ist eine algebraische Struktur über einem Modul, genauer ist es eine Algebra , deren Multiplikation links- oder rechtssymmetrisch ist, dies ist gleichbedeutend zur Aussage, dass für den Assoziator die Identität

oder

gilt. Zur Unterscheidung spricht man von der linken und rechten Koszul-Vinberg-Algebra.

Die Koszul-Vinberg-Algebra ist nach Jean-Louis Koszul[1] und Ernest Borissowitsch Winberg[2] benannt. Weitere geläufige Namen sind links- respektive rechtssymmetrische Algebra (kurz LSA und RSA), quasi-assoziative Algebra, Vinberg-Algebra und Koszul-Algebra.

Der Name Prä-Lie-Algebra kommt daher, dass eine KV-Algebra mit dem Kommutator eine Lie-Algebra respektive Lie-Zulässige-Algebra ist, siehe unten. Bei einer allgemeinen (nicht-assoziativen) Algebra ist dies nicht unbedingt der Fall.

Definition

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Sei   ein kommutativer Ring mit Eins und   eine  -Algebra, das heißt ein  -Modul mit einer  -bilinearen Abbildung  .

Der Assoziator ist definiert als

 

Man nennt   eine linke Koszul-Vinberg-Algebra, wenn

 

für alle   gilt.

Man nennt   eine rechte Koszul-Vinberg-Algebra, wenn

 

für alle   gilt.[3][4]

Erläuterungen

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Ausgeschrieben gilt somit bei der linken KV-Algebra

 

und bei der rechten KV-Algebra

 

für alle  .

Zusammenhang zur Lie-Algebra

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Der Kommutator   einer Koszul-Vinberg-Algebra   ist eine Lie-Klammer, denn es gilt die Jacobi-Identität

 

für alle  .[5]

Literatur

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  • Pierre Cartier und Frédéric Patras: Classical Hopf Algebras and Their Applications. Hrsg.: Springer International Publishing. Schweiz 2021.
  • Azimbay Sadullaev, Norman Levenberg, Utkir Rozikov, Zair Ibragimov: Algebra, Complex Analysis, and Pluripotential Theory: 2 USUZCAMP, Urgench, Uzbekistan. Hrsg.: Springer International Publishing. 2018.

Einzelnachweise

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  1. Jean-Louis Koszul: Domaines bornés homogènes et orbites de groupes de transformations affines. Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 89 (1961), S. 515–533
  2. Ernest B. Winberg: Convex homogeneous cones. Transl. Moscow Math. Soc. 12 (1963), 340–403.
  3. Pierre Cartier und Frédéric Patras: Classical Hopf Algebras and Their Applications. Hrsg.: Springer International Publishing. Schweiz 2021, S. 114.
  4. Azimbay Sadullaev, Norman Levenberg, Utkir Rozikov, Zair Ibragimov: Algebra, Complex Analysis, and Pluripotential Theory: 2 USUZCAMP, Urgench, Uzbekistan. Hrsg.: Springer International Publishing. 2018, S. 136.
  5. Dietrich Burde: Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics. In: Central European Journal of Mathematics. Band 4, 2006, S. 323–357, doi:10.2478/s11533-006-0014-9.