Kooperative Spieltheorie

Die kooperative Spieltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Spieltheorie, bei dem im Gegensatz zur nichtkooperativen Spieltheorie den Spielern keine Aktionen oder Strategien zur Verfügung stehen, mit denen sie vorteilhafte Zustände anstreben. In der kooperative Spieltheorie werden durchsetzbare Vereinbarungen getroffen und eine Zentralinstanz ist in der Lage das Verteilungsproblem zu lösen. Die Spieler sind risikoneutral und eigennutzenmaximierend. Die Auszahlungen der Spieler beruhen insbesondere auf zwei Pfeilern. Zum einen hängen die Auszahlungen von der Koalitionsfunktion ab, diese beschreibt das kooperative Ergebnis der Spieler, die sich zu der jeweiligen Koalition zusammengeschlossen haben. Zum anderen ist das angewandte Lösungskonzept entscheidend, um das kooperative Ergebnis der Koalition fair bzw. gerecht zu verteilen. Die verschiedenen Lösungskonzepte definieren Fairness dabei durch die Erfüllung verschiedener Eigenschaften.

Spieler und KoalitionenBearbeiten

Die Spieler in der kooperativen Spieltheorie werden häufig in einer (endlichen) Menge N zusammengefasst und die Spieler selbst von 1 bis n durchnummeriert. Teilmengen der Spieler nennt man auch Koalitionen, wobei N als die große Koalition bezeichnet wird.

KoalitionsfunktionenBearbeiten

Koalitionsfunktionen (häufig auch charakteristische Funktionen genannt) dienen dazu, die ökonomischen, politischen oder sozialen Möglichkeiten zu beschreiben, die allen Koalitionen offenstehen. Man unterscheidet Koalitionsfunktionen mit und Koalitionsfunktionen ohne transferierbaren Nutzen; dementsprechend unterscheidet man auch zwischen Spielen mit und ohne Seitenzahlungen.

Koalitionsfunktionen mit transferierbarem NutzenBearbeiten

Bei transferierbarem Nutzen wird jeder Koalition durch die Koalitionsfunktion eine reelle Zahl zugeordnet, die man den Wert (englisch: worth) nennt. Im einfachsten Fall handelt es sich beim transferierbaren Nutzen um eine Geldzahlung. Beispielsweise gibt es im Handschuhspiel Spieler mit linken Handschuhen und solche mit rechten Handschuhen. Die jeweiligen Mengen L und R sind disjunkt und ihre Vereinigung ergibt N. Man nimmt an, dass nur Handschuhpaare einen Wert (von 1 Geldeinheit) haben. Der Wert einer Koalition K (der Funktionswert der Koalitionsfunktion bei K) ist gleich der Anzahl der Handschuhpaare, die die Spieler aus K bilden können, und damit der Anzahl der Geldeinheiten, die sie damit erwirtschaften können.

Koalitionsfunktionen ohne transferierbaren NutzenBearbeiten

Bei nichttransferierbarem Nutzen wird jeder Koalition durch die Koalitionsfunktion eine Menge von Auszahlungsvektoren zugeordnet. Ein Beispiel ist die Tauschökonomie. Spieler können durch den Tausch von Güterbündeln unterschiedliche Nutzenvektoren realisieren. Nichttransferierbarer Nutzen liegt z. B. auch vor, wenn eine Koalition durch ihre Kooperation einen Zuwachs oder Verlust an immateriellen Gütern wie Ruhm, Ehre, Gesundheit, Freiheit usw. erlangt.

Kooperative Spieltheorie als axiomatische Theorie von KoalitionsfunktionenBearbeiten

Die kooperative Spieltheorie ist die axiomatische Theorie von Koalitionsfunktionen. Die Koalitionsfunktionen sollen die ökonomischen, politischen oder sozialen Möglichkeiten beschreiben, die den Koalitionen offenstehen. Es gibt eine Vielzahl von Lösungskonzepten. Ein Lösungskonzept ordnet jeder Koalitionsfunktion Auszahlungen für die Spieler zu. Dabei kann die Zuordnung durch eine Formel (einen Algorithmus) erfolgen oder durch die Angabe von allgemeinen Aufteilungsprinzipien (Axiomen).

Lösungen für kooperative SpieleBearbeiten

Für kooperative Spiele hat man eigene Lösungskonzepte entwickelt, unter anderem die Nash-Verhandlungslösung, Kalai-Smorodinski-Lösung, den Shapley-Wert, den Kern (Spieltheorie), die Gauthier-Lösung, die Kalai-Rosenthal-Lösung, die Imputationsmenge, den Nucleolus oder die Mean-Voter-Lösung.

Das Zeuthen-Harsanyi-Modell kann also als nichtkooperative Implementierung der kooperativen Nash-Lösung angesehen werden.

Als wichtige Vertreter der kooperativen Spieltheorie erhielten 2005 Robert Aumann und 2012 Lloyd S. Shapley den Wirtschaftsnobelpreis.

KritikBearbeiten

Die der kooperativen Spieltheorie häufig entgegengebrachte negative Einstellung lässt sich kurz so zusammenfassen: Kooperative Spieltheorie ist nicht nichtkooperative Spieltheorie. In der Tat kommen Handlungen, Ziele, Wissen über die Handlungen der anderen Spieler in den Grundkonzepten der kooperativen Spieltheorie nicht vor. Als Pluspunkt kann die kooperative Spieltheorie verbuchen, dass sie auch dann Aussagen über Auszahlungen treffen kann, wenn nicht ganz klar ist, welche Aktionen den Spielern in welcher Reihenfolge offenstehen und was sie über vorangehende Aktionen wissen.

LiteraturBearbeiten

  • Bastian Fromen: Faire Aufteilung in Unternehmensnetzwerken. Lösungsvorschläge auf der Basis der kooperativen Spieltheorie. Deutscher Universitäts-Verlag, Wiesbaden 2004, ISBN 978-3-8244-8164-4.
  • Richard Alan Gillman, David Housman: Game Theory, A Modeling Approach. CRC Press, Boca Raton u. a. 2019, ISBN 978-1-4822-4809-8.
  • Michael Maschler, Eilon Solan, Shmuel Zamir: Game Theory, 2nd Edition. Cambridge University Press, Cambridge 2020, ISBN 978-1-108-49345-1.
  • David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl. Springer Gabler, Berlin u. a. 2022, ISBN ‏ 365836596X.
  • Hans Peters: Game Theory, A Multi-Leveled Approach, Second Edition. Springer, Berlin u. a. 2015, ISBN 3-662-46949-9.
  • Burkhard Rauhut, Norbert Schmitz, Ernst-Wilhelm Zachow: Spieltheorie. Teubner, Stuttgart 1979, ISBN 3-519-02351-2.
  • Alvin Roth: Game-Theoretic Models of Bargaining. Cambridge University Press, Cambridge (Mass.) 1985, ISBN 0-521-26757-9.
  • Harald Wiese: Kooperative Spieltheorie. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57745-X, doi:10.1524/9783486837469.