Tijs-Wert

Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie

Der Tijs-Wert (auch -Wert genannt) ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie. Das Prinzip dieses Konzeptes ist eine Verhandlungssituation, bei der zunächst eine Obergrenze (Obervektor) sowie eine Untergrenze (Untervektor) bestimmt werden.

Obervektor

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Der Vektor der Grenzbeiträge jedes Spielers zur großen Koalition bildet den Obervektor. Unter der großen Koalition versteht man dabei die aus allen Spielern bestehende Koalition. Für jeden Spieler  , diese seien nummeriert von   bis  , wird die Differenz zwischen dem Wert der großen Koalition   und dem Wert der großen Koalition abzüglich des Spielers   berechnet. Dieser sogenannte Grenzbeitrag des Spielers   beschreibt die obere Grenze für die Auszahlung an eben jenen Spieler. Somit wird dem Spieler keine höhere Auszahlung gewährt, als sein Wertbeitrag zur großen Koalition.

In einem Spiel   ist der Obervektor (auch Utopia-Vektor genannt)   beschrieben durch:

 

Die Koordinate   beschreibt hierbei den marginalen Beitrag des Spielers   bzgl. der großen Koalition  .[1]

Untervektor

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Sollte sich ein Spieler   nicht an der großen Koalition   beteiligen wollen, so kann er Teil einer sogenannten Außenseiterkoalition   werden. Dann steht ihm der Wert der Außenseiterkoalition   zu. Allerdings muss Spieler   den anderen Spielern einen Anreiz bieten, um ebenfalls an der Außenseiterkoalition   teilzunehmen. Dazu wird jedem anderen Spieler  , der Wert geboten, den sie als Teil der großen Koalition   realisieren könnten. Die so berechnete Differenz bildet die Untergrenze (auch Drohpunkt oder Konzessionsgrenze genannt) des Spielers  . Rein rational wird jene Koalition angestrebt, in der diese Differenz am größten ist.

In einem Spiel   ist der Untervektor   gegeben mit:

 [2]

Quasi-Balanciertheit

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An eine solche Zuteilung werden zwei Forderungen gestellt. Zum einen müssen die Koordinaten   mindestens so groß sein wie   (für alle Spieler). Zum anderen soll der Wert der großen Koalition nicht-kleiner bzw. nicht-größer als die Summe aller   bzw.   sein. Dies beschreibt die Quasi-Balanciertheit eines Spieles.

Ein Spiel   ist quasi-balanciert, sofern für alle  :

  sowie   erfüllt ist.[3]

Definition Tijs-Wert

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Für quasi-balancierte Spiele ist die Existenz und Eindeutigkeit einer Imputation gesichert, welche zwischen dem Obervektor   und Untervektor   liegt. Diese Imputation wird Tijs-Wert genannt.

Der  -Wert eines quasi-balancierten Spieles ist definiert durch:

 , wobei:
 , wenn  , ansonsten:
 [4]

Insgesamt erhält Spieler   die  -Koordinate des  -Wert als Lösung zugeteilt.

Beispiel

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Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels[5]
                 
                 

Der Obervektor   ist bestimmt mit:

 .


Der Untervektor   ist berechnet mit:

 


 


 


Weiter ist der Faktor   zu berechnen mit:

 .


Insgesamt folgt daher:

 .[6]

Literatur

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  • Jesús Mario Bilbao: Cooperative Games on Combinatorial Structures. Springer, New York 2000, ISBN 978-0-7923-7782-5.
  • Rodica Branzei, Dinko Dimitrov, Stef Tijs: Models in Cooperative Game Theory. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77953-7.
  • David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl. Springer Gabler, Berlin u. a. 2022, ISBN 978-3-658-36596-7.
  • S. H. Tijs: Bounds for the core of a game and the  -value. In: O. Moeschlin, D. Pallaschke (Hg.): Game theory and mathematical economics. North-Holland, Amsterdam 1981, S. 123–132.
  • S. H. Tijs: An axiomatization of the  -value. In: Mathematical Social Sciences, Volume 13, Issue 2, 1987, doi:10.1016/0165-4896(87)90054-0, S. 177–181.

Einzelnachweise

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  1. Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 31; Müller 2022, S. 513; Tijs 1981, S. 123.
  2. Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 31; Müller 2022, S. 513–514; Tijs 1981, S. 123–124.
  3. Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 31; Müller 2022, S. 514; Tijs 1987, S. 178.
  4. Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 32; Müller 2022, S. 514; Tijs 1987, S. 179.
  5. Vgl. Müller 2022, S. 479.
  6. Vgl. Müller 2022, S. 515.