Konzentrationstopologie

In der Mathematik ist die Konzentrationstopologie eine Topologie auf der Menge aller metrischen Maßräume.

Definition

Für einen metrischen Maßraum $(X,d_{X},\mu _{X})$ bezeichne $\operatorname {Lip} _{1}(X)$ die Menge aller Lipschitz-stetigen Funktionen mit Lipschitz-Konstante $1$ auf $X$. Sei $\mu _{Leb}$ das Lebesgue-Maß auf $\left[0,1\right]$, als Parameter für $X$ bezeichnet man eine Borel-messbare Abbildung $\phi \colon \left[0,1\right]\to X$ falls für das Bildmaß $\phi _{*}\mu _{Leb}=\mu _{X}$ gilt. Für einen Parameter $\phi$ definiert man den Raum der $1$-Lipschitz-Verknüpfungen

$\phi ^{*}\operatorname {Lip} _{1}(X)=\left\{f\circ \phi \colon f\in \operatorname {Lip} _{1}(X)\right\}$.

Sei $d_{H}$ der Hausdorf-Abstand bezüglich der Ky-Fan-Metrik $d_{KF}$ definiert durch

$d_{KF}(f,g):=\inf \left\{\epsilon \geq 0\colon \mu _{Leb}\left(\left\{t\in \left[0,1\right]\colon d_{X}(f(t),g(t))>\epsilon \right\}\right)\leq \epsilon \right\}$.

Der beobachtbare Abstand zwischen metrischen Maßräumen $X$ und $Y$ wird definiert durch

$d_{conc}(X,Y):=\inf _{\phi ,\psi }d_{H}(\phi ^{*}\operatorname {Lip} _{1}(X),\psi ^{*}\operatorname {Lip} _{1}(Y))$,

wobei $\phi \colon \left[0,1\right]\to X$ und $\psi \colon \left[0,1\right]\to Y$ alle Parameter von $X$ bzw. $Y$ durchlaufen.

Die Konzentrationstopologie ist die durch den beobachtbaren Abstand definierte Topologie auf der Menge aller metrischen Maßräume.

Konzentration metrischer Maßräume

Man sagt, dass sich eine Folge von metrischen Maßräumen $X_{n}$ auf einen metrischen Maßraum $X$ konzentriert, wenn $X_{n}$ in der Konzentrationstopologie gegen $X$ konvergiert.

Eine Folge metrischer Maßräume konzentriert sich genau dann auf einen einpunktigen Raum, wenn sie eine Lévy-Familie ist.

Literatur

• M. Gromov: Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Transl. from the French by Sean Michael Bates. With appendices by M. Katz, P. Pansu, and S. Semmes. Edited by J. LaFontaine and P. Pansu. Modern Birkhäuser Classics. Basel: Birkhäuser (2007) ISBN 978-0-8176-4582-3/pbk