Beobachtbarer Durchmesser

Begriff aus der Theorie metrischer Maßräume
(Weitergeleitet von Lévy-Familie)

In der Mathematik ist der beobachtbare Durchmesser (engl.: observable diameter) ein Begriff aus der Theorie metrischer Maßräume.

Definition

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Sei   ein metrischer Maßraum und definiere den Durchmesser

 

bezüglich der Metrik.

Für eine reelle Zahl   wird zunächst der  -partielle Durchmesser bezüglich   definiert

 

das heißt das Infimum der Durchmesser der Teilmengen  , für deren Maß   gilt.

Sei   der Raum der Lipschitz-stetigen Abbildungen   mit Lipschitz-Konstante   und   das Bildmaß unter der Funktion  . Der  -beobachtbare Durchmesser   von   bezüglich   ist definiert als

 

das heißt das Supremum der  -partiellen Durchmesser von   bezüglich der Bildmaße   der  -Lipschitz-Funktionen.

Für   erhält man den Durchmesser von   und für   ist  .

Lévy-Familien

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Eine Folge metrischer Maßräume   wird als Lévy-Familie bezeichnet, wenn es ein   gibt mit

 

Zum Beispiel ist eine Folge runder Sphären   genau dann eine Lévy-Familie, wenn   gilt.

Eigenschaften

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Der beobachtbare Durchmesser lässt sich in Beziehung zum Trennungsabstand (engl.: separation distance) setzen, der wiederum in Beziehung zu den Eigenwerten des Laplace-Operators (mit Neumann-Randbedingungen) steht.

Für geschlossene,  -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten   mit Ricci-Krümmung   gilt

 

für alle  .

Literatur

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  • M. Gromov: Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Transl. from the French by Sean Michael Bates. With appendices by M. Katz, P. Pansu, and S. Semmes. Edited by J. LaFontaine and P. Pansu. Modern Birkhäuser Classics. Basel: Birkhäuser (2007) ISBN 978-0-8176-4582-3/pbk
  • Takashi Shioya: Metric measure geometry. Gromov's theory of convergence and concentration of metrics and measures. Hrsg.: EMS Press. 2016, ISBN 978-3-03719-158-3, doi:10.4171/158, arxiv:1410.0428 (englisch).