In der Mathematik ist das komplexe Volumen eine Invariante 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Für Komplemente von Knoten und Verschlingungen stellt die Volumenvermutung einen Zusammenhang zwischen dem komplexen Volumen und der Asymptotik von Quanteninvarianten her.

Definition

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Für eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens   wird das komplexe Volumen definiert als

 ,

wobei   das hyperbolische Volumen und   die SO(3)-Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs ist.

Allgemeiner kann man für Darstellungen   das komplexe Volumen definieren als

 ,

wobei   das flache Bündel mit Holonomie  ,

 

seine 2. Cheeger-Chern-Simons-Klasse und

 

die Fundamentalklasse von   ist.

Die Volumen-Vermutung postuliert für hyperbolische Knoten   die Gleichung

 ,

wobei   das  -te gefärbte Jones-Polynom von   bezeichnet.

Literatur

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  • W. D. Neumann: Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 8, 413–474 (2004). pdf
  • S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert: The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds. Duke Math. J. 164, 2099–2160 (2015). pdf