Im mathematischen Gebiet der Knotentheorie sind Quanteninvarianten Invarianten von Knoten, Verschlingungen und 3-Mannigfaltigkeiten, die mittels der Darstellungstheorie von Quantengruppen oder allgemeiner aus Lösungen der Yang-Baxter-Gleichung definiert werden.

Konstruktion via R-Matrizen

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Gegeben seien eine R-Matrix   und ein Isomorphismus  , sowie eine Markow-Spur  .

Mittels der R-Matrix definiert man Darstellungen der Zopfgruppen   durch

 
 .

Mittels des Satzes von Alexander kann man jede Verschlingung als Abschluss eines Zopfes darstellen. Mittels der Markow-Spur erhält man aus dem so definierten Endomorphismus eine Invariante und mit dem Satz von Markow kann man zeigen, dass diese Invariante wohldefiniert ist.

Beispiele von Quanteninvarianten

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Literatur

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  • N. Reshetikhin, V. G. Turaev: Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum groups. In: Invent. Math. 103, no. 3, 1991, S. 547–597.
  • Robion Kirby, Paul Melvin: The 3-manifold invariants of Witten and Reshetikhin-Turaev for sl(2,C). In: Invent. Math. 105, no. 3, 1991, S. 473–545.
  • Tomotada Ohtsuki: Quantum invariants. A study of knots, 3-manifolds, and their sets. (= Series on Knots and Everything. 29). World Scientific Publishing, River Edge, NJ 2002, ISBN 981-02-4675-7.
  • Vladimir G. Turaev: Quantum invariants of knots and 3-manifolds. (= de Gruyter Studies in Mathematics. 18). 2., überarb. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022183-1.