Klassifizierender Raum von SU(n)

(Weitergeleitet von Klassifizierender Raum von SU)

Der klassifizierende Raum der speziellen unitären Lie-Gruppe ist der Basisraum des universellen -Hauptfaserbündels . Das bedeutet, dass -Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in stehen. Die Bijektion ist das zurückgezogene Hauptfaserbündel.

Definition

Bearbeiten

Es gibt eine kanonische Inklusion von komplexen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch  . Deren direkter Limes ist:

 

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

 

überträgt sich die  -Wirkung auf  .

Kleinster klassifizierender Raum

Bearbeiten
  • Es ist   die triviale Gruppe und daher   der triviale topologische Raum.
  • Es ist   und daher   der unendliche quaternionische projektive Raum.

Klassifikation von Hauptfaserbündeln

Bearbeiten

Für einen topologischen Raum   sei   die Menge der  -Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist   ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:

 

bijektiv.[1]

Kohomologiering

Bearbeiten

Der Kohomologiering von   mit Koeffizienten im Ring   der ganzen Zahlen wird von den Chern-Klassen erzeugt:[2]

 

Unendlicher klassifizierender Raum

Bearbeiten

Die kanonische Inklusionen   induzieren kanonische Inklusionen  auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

 
 

bezeichnet.   ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von  .

Siehe auch

Bearbeiten

Literatur

Bearbeiten
Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. universal principal bundle. In: 𝑛Lab. Abgerufen am 14. März 2024 (englisch).
  2. Hatcher 02, Example 4D.7.