Iwasawa-Zerlegung

Matrix-Zerlegung in ein Produkt zweier spezieller Matrizen

Die Iwasawa-Zerlegung halbeinfacher Lie-Gruppen verallgemeinert die Tatsache, dass sich jede quadratische Matrix auf eindeutige Weise als Produkt aus einer orthogonalen Matrix und einer oberen Dreiecksmatrix darstellen lässt. Sie ist nach Kenkichi Iwasawa (1949) benannt, der sie für reelle halbeinfache Liegruppen einführte.

Spezialfall: MatrizenBearbeiten

Ein Spezialfall ist die eindeutige Darstellung jedes Elementes der speziellen linearen Gruppe   als Produkt von drei Elementen.

Sei   die spezielle orthogonale Gruppe  ,   die Menge der Diagonalmatrizen mit positiven Diagonaleinträgen, deren Produkt   beträgt, und   die Menge der Dreiecksmatrizen, auf deren Diagonalen überall Einsen stehen. Dann existieren für jedes       eindeutig bestimmte      derart, dass  . (Vergleiche QR-Zerlegung.)

Allgemeiner FallBearbeiten

Sei   eine halbeinfache Lie-Gruppe. Dann gibt es eine Zerlegung

 

mit einer kompakten Untergruppe  , einer abelschen Untergruppe   und einer nilpotenten Untergruppe  , so dass sich jedes Element   auf eindeutige Weise als Produkt

 

mit   zerlegen lässt.

Die Zerlegung   ist nicht eindeutig bestimmt. Jede Zerlegung mit den obigen Eigenschaften heißt Iwasawa-Zerlegung.

Die Methode ist benannt nach ihrem Entwickler Iwasawa Kenkichi.

LiteraturBearbeiten