Isonormaler Gauß-Prozess

Gauß-Prozess

Ein isonormaler Gauß-Prozess ist ein Gauß-Prozess assoziiert zu einem separablen Hilbertraum , der auch eine lineare Isometrie ist. Der wichtige Spezialfall, wenn der Hilbertraum ein L2-Raum über einem σ-endlichen Maßraum ist, nennt man weißes Rauschen. Der Begriff wurde 1954 von Irving Segal eingeführt.[1]

Isonormaler Gauß-Prozess

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Sei   ein separabler Hilbertraum über  . Ein isonormaler Gauß-Prozess auf   ist ein stochastischer Prozess

 

definiert auf einem gemeinsamen vollständigen Wahrscheinlichkeitsraum  , so dass   eine Familie von zentrierten reellen gaußschen Zufallsvariablen ist und

 

für alle   gilt.[2]

Erläuterungen

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Aus der Definition folgt, dass die Abbildung   eine lineare Isometrie

 

ist, denn für   und   gilt

 

Somit  -fast sicher  . Aus der Linearität folgt auch sofort, dass   wirklich ein Gauß-Prozess ist. Der Raum   ist der Raum der zentrierten gaußschen Zufallsvariablen und stimmt zu gleich mit dem ersten hermiteschen Wiener-Chaos überein.

Existenz

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Fixiere eine Orthonormalbasis   und betrachte   iid und  .

Für ein beliebiges   definiere  , wobei die Reihe fast sicher und in   konvergiert, da   Sei nun  , dann gilt

 .[3]

Beispiel

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Weißes Rauschen

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Sei  , wobei   ein messbarer Raum mit σ-endlichem und atomlosen Maß  . Dann definieren wir den Prozess

 

durch

 

Wir betrachten dadurch ein Gaußsches Maß  , so dass

 

falls  .   nennt man Weißes Rauschen basierend auf   und ist ein isonormaler Gauß-Prozess.

Ist   und   das Lebesgue-Maß, dann ist   das  -parametrige brownsche Blatt, ein weiterer isonormaler Gauß-Prozess.

Analog für   mit   und Lebesgue-Maß   definiert

 

das  -Brownsche Blatt   mit Kovarianz

 

für die Stetigkeit lässt sich der Satz von Kolmogorow-Tschenzow verwenden. Sei nun  , dann ist das Wiener-Itô-Integral bezüglich  

 

und somit ein isonormaler Gauß-Prozess  .

Einzelnachweise

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  1. I. E. Segal: Abstract probability spaces and a theorem of Kolmogorov. In: American Journal of Mathematics. Band 76, 1954, S. 721–73.
  2. David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 4, doi:10.1007/3-540-28329-3.
  3. Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 300, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.