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Helmholtz-Spulen

Als Helmholtz-Spule bezeichnet man eine besondere Spulenanordnung, die auf den deutschen Physiker Hermann von Helmholtz (1821–1894) zurückgeht: Zwei kurze Spulen mit großem Radius R werden im Abstand R auf derselben Achse parallel aufgestellt und gleichsinnig von Strom durchflossen (bei gegensinnigem Stromfluss siehe Anti-Helmholtz-Spule).

Das Feld jeder einzelnen Spule ist inhomogen. Durch die Überlagerung beider Felder ergibt sich zwischen beiden Spulen nahe der Spulenachse ein Bereich mit weitgehend homogenem Magnetfeld, das für Experimente frei zugänglich ist.

Es gibt Helmholtz-Spulen in verschiedenen Bauformen: zylindrisch, quadratisch, aber auch als 3 orthogonal aufgestellte Paare (dreidimensional). Mit der dreidimensionalen Anordnung kann man durch Variation des Stromverhältnisses zwischen den Spulenpaaren ein Magnetfeld beliebiger Richtung erzeugen und damit einen Gegenstand untersuchen, ohne diesen drehen zu müssen.

Inhaltsverzeichnis

EigenschaftenBearbeiten

Bei der Anordnung nach Helmholtz verschwinden in der Mitte die erste und die zweite Ableitung der Feldfunktion in alle Richtungen, am Rand fällt die Feldstärke relativ schnell ab. Die Helmholtz-Spule ist damit die einfachste Spulenanordnung um ein nahezu konstantes Magnetfeld innerhalb eines endlichen Volumens zu erzeugen, und wird häufig in physikalischen Experimenten verwendet. Die erzeugte magnetische Feldstärke ist – wie bei jeder Luftspule – streng linear vom Spulenstrom abhängig. Aus der Spulengeometrie, dem Strom und den Windungszahlen lässt sich die magnetische Feldstärke entlang der Achse analytisch berechnen. Daher ist die Helmholtz-Spule ideal für die Kalibrierung von Magnetometern einsetzbar.

Größere Abstände als der Spulenradius R ergeben ein größeres Experimentiervolumen, aber zur Spulenmitte hin abfallende Feldstärkewerte. Kleinere Abstände ergeben größere Feldstärken, aber ein kleineres Experimentiervolumen.

Anwendungen der Helmholtz-SpuleBearbeiten

 
Helmholtz-Spule in einer Atomuhr

Berechnung der magnetischen FlussdichteBearbeiten

Wenn der Ursprung des Koordinatensystems im Zentrum der Spule liegt, ergibt sich mit dem Biot-Savart-Gesetz für die magnetische Flussdichte im Vakuum entlang der Symmetrieachse für den Spezialfall von nur einer Windung ( ):

 
 
Feldverlauf einer einzelnen kurzen Spule

Die Flussdichte im Zentrum des Helmholtz-Spulenpaars ist die Überlagerung der Flussdichten zweier Kreisströme im Abstand  , die beide denselben positiven Beitrag liefern:

 

wobei   die magnetische Feldkonstante ist,   die Spulenstromstärke und   der Spulenradius.

Es lässt sich auch die allgemeine Flussdichte   von Helmholtz-Spulen bestimmen.[1] Die Helmholtz-Spulen bestehen aus zwei Leiterschleifen (Stromfäden) mit den Windungszahlen   und  , durch die jeweils ein Strom   bzw.   fließt. Es existiert also eine Stromdichte   (in den Zylinderkoordinaten  ) von:

 

hierbei befindet sich das Zentrum der jeweiligen Spule bei   bzw.   auf der x-Achse.

Mit dem Biot-Savart-Gesetz lässt sich das Vektorpotential der Spule berechnen:

 

Dabei ist   der Integrations- und   der Aufpunkt, also der Punkt, an dem das Vektorfeld bestimmt wird. Für das Vektorpotential ergibt sich also unter Ausführung der trivialen Integrationen:

 

Mit   kann die magnetische Flussdichte berechnet werden. Hierfür wird das Vektorpotential in die Komponenten der Zylindersymmetrie zerlegt:

  ,

sodass für die Einzelkomponenten gilt

 

Mit dem Rotationsoperator in Zylinderkoordinaten

 

lässt sich nun die Flussdichte   berechnen:

 

Entsprechend ergeben sich die kartesischen Komponenten zu

 

Die so gefundenen analytischen Ausdrücke lassen sich nur in bestimmten Fällen weiter vereinfachen, da die enthaltenen elliptischen Integrale nur numerisch berechnet werden können.

Für den Fall, dass nur die Spulenachse betrachtet wird ( ), ergibt sich   und

 

Im Spulenursprung ( ) gilt entsprechend   und

 

Helmholtz-Spulenpaar mit je N WindungenBearbeiten

Der Ursprung des Koordinatensystems liegt in der Mitte zwischen den Spulen. Der Strom wirkt N-fach im Vergleich zu Spulen mit je einer Windung.

 

Beispiel: I = 1,7 A; N = 130; R = 0,15 m

 

InduktivitätBearbeiten

Für die beiden in Reihe geschalteten Spulenteile ergibt sich aufgrund der symmetrischen Anordnung der Ansatz  . Dabei ist   die Selbstinduktivität einer einzelnen Teilspule. Die Gegeninduktivität   ergibt sich aus der magnetischen Kopplung beider Spulenteile aufeinander, und wirkt auf beide Spulenteile gleich.

Es handelt sich um kurze Zylinderspulen, deshalb gilt für die Selbstinduktivität die Näherungsformel

  .

  ist die Länge einer Zylinderspule.

Die Gegeninduktivität lässt sich für die vorliegende Anordnung mit dem Neumann-Kurvenintegral berechnen. Nach der Integration ergibt sich die Formel

  .

Insgesamt hat eine Helmholtz-Spule also die Induktivität

  .

Bei einer Maxwell-Spule ergibt sich die Induktivität aus dem Ansatz  . Die Gegeninduktivität fließt negativ in die Gesamtinduktivität ein, da sich die Magnetfelder destruktiv überlagern. Insgesamt also:

 

Variationen und WeiterentwicklungBearbeiten

Quadratische HelmholtzspuleBearbeiten

In der Praxis werden die runden Einzelspulen oft durch quadratische Leiterschleifen der Kantenlänge a ersetzt. Damit lassen sich ähnlich homogene Felder erzeugen. Der ideale Spulenabstand beträgt dann d=0,5445a[2][3], etwas größer als bei der runden Helmholzspule, da die quadratische Spule auch eine größere Fläche besitzt.

Anordnungen für noch homogenere FelderBearbeiten

Der Bereich homogenen Feldes ist im Vergleich zu den Gesamtabmessungen der klassischen Helmholtzspule klein. Daher versuchten viele Wissenschaftler, die Spulenanordnung zum Erzeugen homogener Felder zu verbessern. Es sind dies zum Beispiel:

  • Maxwell-Spule[4]: drei Einzelspulen, wobei die mittlere Spule einen größeren Durchmesser hat und von einem größeren Strom durchflossen wird
  • Braunbek-Spule[5]: vier Einzelspulen, wobei die inneren Spulen größere Durchmesser haben. Sie ist eine optimierte Version der Fanselau-Spule.[6]
  • Barker-Spule[7]: vier Einzelspulen gleichen Durchmessers, wobei die äußeren von größerem Strom durchflossen werden

Diese Anordnungen verbessern das Verhältnis zwischen Gesamtgröße und Volumen homogenen Feldes und steigern dadurch auch die Effizienz, denn die Stromwege verkürzen sich. Die Barker-Spule wird in Kernspintomografen eingesetzt, die Braunbek-Spule in geomagnetischen Laboren zur Simulation und Kompensation des Erdmagnetfeldes und auch interplanetarer Felder, u. a. zum Test von Raumfahrzeugen. Weiterhin werden damit durch Kompensation äußerer Felder magnetfeldfreie Räume geschaffen, u. a. um Magnetometer zu testen.[8][9]

Anti-Helmholtz-SpuleBearbeiten

Durchfließt der Strom die Spulen gegensinnig, so ist das Feld im Zentrum null. Im Bereich um das Zentrum steigt das Feld in Achsenrichtung linear an, so dass die Spulenanordnung ein Gradientenfeld erzeugt. Diese Spulenanordnung wird Maxwell-Spule, manchmal auch Anti-Helmholtz-Spule genannt. Der optimale Abstand d der Einzelspulen zueinander hängt von den gewünschten Feldeigenschaften ab: Ein maximaler Feldgradient im Zentrum ergibt sich beim Abstand  , also genau wie bei der optimalen Helmholtz-Spule. Ein möglichst homogener Gradient, bei dem die zweite und dritte Ableitung der Feldstärke verschwindet, entsteht hingegen bei einem Spulenabstand  , allerdings mit ca. 25 % verringerter Gradientenstärke.

Die Berechnung des Feldverlaufes entlang der Symmetrieachse (x-Achse) geschieht in ganz analoger Weise wie im Fall gleicher Richtung der Kreisströme. Man erhält für Spulenpaare mit gleicher Windungszahl N:

 

Mit Spulenabstand   gilt dann für den Feldgradienten im Zentrum:

  .

BildgalerieBearbeiten

Nachfolgend sind gemessene oder errechnete Feldverläufe bei Helmholtz-Spulen dargestellt:

WeblinksBearbeiten

  Commons: Helmholtz coils – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. 9. Auflage. Springer Lehrbuch, 2011, ISBN 978-3-642-13448-7 (Aufgabe 3.2.3).
  2.  
  3. Carl Heller: Über die Erzeugung großräumiger homogener Magnetfelder zum Studium des Verhaltens von Magnetkompassen und Kompensiermitteln auf verschiedenen magnetischen Breiten. In: Deutsche Hydrografische Zeitschrift. 8, Nr. 4, 1955, S. 157–164. doi:10.1007/BF02019812.
  4. James Clerk Maxwell: Treatise on Electricity and Magnetism, Band 2. The Clarendon Press, Oxford 1873, ISBN 0-486-60636-8, S. 320.
  5. Werner Braunbek: Die Erzeugung weitgehend homogener Magnetfelder durch Kreisströme. In: Zeitschrift für Physik. 88, Nr. 5–6, 1934, S. 399–402. doi:10.1007/BF01343500.
  6. G. Fanselau: Die Erzeugung weitgehend homogener Magnetfelder durch Kreisströme. In: Zeitschrift für Physik. 54, Nr. 3–4, 1929, S. 260–269. doi:10.1007/BF01339844.
  7. J. R. Barker: New Coil Systems for the Production of Uniform Magnetic Fields. In: Journal of Scientific Instruments. 26, 1949, S. 273–275. doi:10.1088/0950-7671/26/8/307.
  8. http://www.serviciencia.es/folletos/Braunbek-Barker-Examples-1.pdf Prospekt der Fa. Serviciencia, S. L. / Spanien, abgerufen 2017-09-18
  9. http://www.igep.tu-bs.de/institut/einrichtungen/magnetsrode/ 3D-Braunbek-Spulensystem in Magnetsrode - einem geomagnetischen Laboratorium