Haefliger-Zeeman unknotting theorem

Das Haefliger-Zeeman unknotting theorem (deutsch etwa: Entknotungssatz von Haefliger und Zeeman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialtopologie. Er gibt leicht nachprüfbare Bedingungen, wann sich zwei Einbettungen einer Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum ineinander verformen lassen (d. h. zueinander isotop sind). Es ist nach André Haefliger und E. C. Zeeman benannt.

Voraussetzungen

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Eine Isotopie von Einbettungen des Intervalls in die Ebene.

Es sei   eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Sie heißt  -zusammenhängend falls die Homotopiegruppen   für alle   trivial sind. Eine Einbettung

 

in den euklidischen Raum   ist eine differenzierbare Abbildung, die eine Immersion und eine topologische Einbettung, d. h. ein Homöomorphismus auf ihr Bild (insbesondere injektiv) ist.

Zwei Einbettungen   heißen isotop, wenn es eine glatte Homotopie

 

mit   gibt, so dass für jedes   die Abbildung   eine Einbettung ist.

Satz von Haefliger-Zeeman

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Für   und   sind alle Einbettungen  -zusammenhängender  -dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den   zueinander isotop.

Spezialfälle

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Diese Einbettung des Kreises ist nicht isotop zum Unknoten.

Zusammenhängende Mannigfaltigkeiten

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Im Fall   erhält man: für   und   sind alle Einbettungen zusammenhängender  -dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den   zueinander isotop.

Dieser Satz stimmt nicht für  : es gibt zahlreiche nicht zueinander isotope Knoten im  .

Einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten

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Im Fall   erhält man: für   und   sind alle Einbettungen einfach zusammenhängender  -dimensionaler Mannigfaltigkeiten in den   zueinander isotop.

Literatur

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  • Roger Penrose, J. H. C. Whitehead, E. C. Zeeman, Imbedding of manifolds in Euclidean space, Ann. of Math. 73 (1961) 613–623.
  • A. Haefliger, Plongements différentiables de variétés dans variétés, Comment. Math. Helv.36 (1961), 47–82.
  • E. C. Zeeman, Isotopies and knots in manifolds, Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961), Prentice-Hall (1962), 187–193.
  • M. Irwin, Embeddings of polyhedral manifolds, Ann. of Math. (2) 82 (1965) 1–14.
  • J. F. P. Hudson, Piecewise linear topology, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.