H-Raum

In der Topologie besteht ein H-Raum aus einem topologischen Raum X (oft als zusammenhängend vorausgesetzt) und einer stetigen Abbildung $\mu \colon X\times X\to X$ mit einer Einheit $e\in X$ in dem Sinne, dass die Endomorphismen

$\mu (\cdot ,e)\colon X\to X$ und $\mu (e,\cdot )\colon X\to X$

homotop zur identischen Abbildung $id_{X}$ auf $X$ relativ zu $e$ sind.

Es gibt auch Definitionen, in denen stärkere oder schwächere Forderungen an diese Homotopie gestellt werden: Manchmal wird die Homotopie nur relativ $e$, manchmal sogar relativ $X$ gefordert. Diese drei Varianten sind äquivalent, wenn $X$ CW-Komplex ist.

Der Name H-Raum wurde von Jean-Pierre Serre zu Ehren von Heinz Hopf vorgeschlagen.

Eigenschaften

Die multiplikative Struktur eines H-Raums bereichert die Struktur seiner Homologie und Kohomologie. So ist der Kohomologiering eines wegzusammenhängenden H-Raums mit endlich erzeugten freien Kohomologiegruppen eine Hopf-Algebra. Außerdem kann man auf den Homologiegruppen eines H-Raums das Pontryagin-Produkt erklären.

Die Fundamentalgruppe eines H-Raums ist abelsch: Sei $X$ ein H-Raum mit Einheit $e$, und seien $f$ und $g$ Schleifen mit Basispunkt $e$. Dann können wir eine Abbildung $F\colon \left[0,1\right]\times \left[0,1\right]\to X$ durch $F(a,b)=f(a)g(b)$ erklären. Nun ist $F(.,0)=F(.,1)=fe$ homotop zu $f$ und $F(0,.)=F(1,.)=eg$ zu $g$. Damit entspricht $F$ einer Homotopie von der Verkettung $f\cdot g$ von Schleifen zu $g\cdot f$.

Beispiele

J. F. Adams hat gezeigt, dass unter den Sphären nur $S^{0},S^{1},S^{3}$ und $S^{7}$ H-Räume sind; die Multiplikation wird jeweils von der Multiplikation auf $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$, $\mathbb {H}$ (Quaternionen) und $\mathbb {O}$ (Oktonionen) induziert.

Sei $R$ ein unitärer Ring, $GL(R)=\bigcup _{n\geq 0}GL(n,R)$ die Gruppe der invertierbaren Matrizen über $R$ und $BGL(R)$ der klassifizierende Raum von $GL(R)$. Dann liefert die Plus-Konstruktion einen H-Raum $BGL^{+}(R)$. Seine Fundamentalgruppe ist die Abelisierung von $GL(R)$.

Literatur

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.