Hölderraum

mathematischer Raum
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Der Hölderraum (nach Otto Hölder) ist in der Mathematik ein Banachraum von Funktionen, der in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen eine Rolle spielt. Dort sind Hölderräume eine natürliche Wahl, um Existenztheorie betreiben zu können.

Definition

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Sei  . Der Hölderraum   ist die Menge aller Funktionen   mit  , für die folgende Norm endlich ist:

 .

Hier bezeichnet

 

die Supremumsnorm und

 

die Hölder-Konstante. Für   schreibt man auch  .[1]

Der Hölderraum ist also der Raum der  -mal stetig differenzierbaren, beschränkten Funktionen von   nach  , deren  -ten partiellen Ableitungen hölderstetig zu einer Konstanten   und ebenfalls beschränkt sind. Im Spezialfall   spricht man meistens von Lipschitzstetigkeit.

Satz von Kellogg

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Sei   und   ein beschränktes Gebiet mit  -Rand sowie   ein streng elliptischer Operator in   mit Koeffizienten in  , d. h.

 ,

wobei   in   liegen und die Matrix   die Elliptizitätsbedingung

  für alle  

mit einer von   unabhängigen Konstanten   erfüllt. Weiter sei die Funktion   nichtpositiv sowie   und  . Dann besitzt die Gleichung

 

eine eindeutige klassische Lösung  .

Da die obige Gleichung keine klassische Lösung   besitzt, falls von   lediglich Stetigkeit gefordert wird, ist die Kontrolle des Stetigkeitsmoduls von Relevanz für die Existenztheorie in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Hölderräume sind eine Klasse von Funktionen, innerhalb derer klassische Existenztheorie betrieben werden kann.

Literatur

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  • H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Auflage, Springer-Verlag, ISBN 3-540-43947-1.
  • D. Gilbarg, N. S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. In: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 224, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1977, ISBN 3-540-08007-4.

Einzelnachweise

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  1. H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-22260-3, S. 46.