Ein Gruppenschema ist in der algebraischen Geometrie die Verallgemeinerung einer algebraischen Gruppe. Typische Beispiele sind affine algebraische Gruppen oder abelsche Varietäten. Im Unterschied zur klassischen Sichtweise können Gruppenschemata über beliebigen Schemata definiert werden. Solche finden Anwendung in der Theorie von Modulräumen abelscher Varietäten.

Definition

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Sei   ein Schema und sei   die Kommakategorie der Schemata über  . Die Objekte von   nennen wir  -Schemata. Sie hat endliche Produkte. Diese sind durch das Faserprodukt   von  -Schemata gegeben.

Als Gruppenobjekt

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Ein Gruppenschema über   ( -Gruppenschema) ist ein Gruppenobjekt in  .[1]

Konkret heißt das:

Ein  -Gruppenschema   über   besteht aus einem  -Schema   zusammen mit drei Morphismen

  •  , Multiplikation
  •  , Inklusion des neutralen Elements
  •  , Inversion

sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

  •   ist assoziativ, das heißt   als Morphismen  .
  •   ist ein zweiseitiges neutrales Element für  , das heißt   und  , wobei   (bzw.  ) die Projektion auf den ersten (bzw. zweiten) Faktor ist.
  •   ist ein zweiseitiges inverses Element für  , das heißt   und  . Hier bezeichnet   die Diagonale.

Diese Regeln sind den Gruppenaxiomen nachempfunden.

Als Gruppenwertiger Funktor

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Alternativ kann ein  -Gruppenschema als darstellbarer Funktor   in die Kategorie der Gruppen   beschrieben werden. Nach dem Yoneda-Lemma sind beide Definitionen äquivalent.

Morphismen

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Ein Morphismus von Gruppenschemata   ist ein Morphismus   von  -Schemata, der mit den Strukturmorphismen verträglich ist, das heißt  ,   und  . Tatsächlich folgen die letzten beiden Eigenschaften bereits aus  . Die Klasse der  -Gruppenschemata bildet zusammen mit Morphismen von  -Gruppenschemata wieder eine Kategorie  .

Untergruppenschemata

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Die folgenden Begriffe sind im Allgemeinen zu unterscheiden.

  • Ein  -Untergruppenschema von   ist ein darstellbarer Unterfunktor von  .[2]
  • Ein abgeschlossenes  -Untergruppenschema von   ist ein Morphismus von  -Gruppenschemata  , der eine abgeschlossene Immersion ist.[3]
  • Ein offenes  -Untergruppenschema von   ist ein Morphismus von  -Gruppenschemata  , der eine offene Immersion ist.[3]

Eigenschaften

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  • Ist   eine Eigenschaft von  -Schemata, das heißt eine Teilklasse der Objekte von  , die durch eine logische Formel definiert ist, so definiert diese eine Eigenschaft von  -Gruppenschemata. Ist   ein  -Gruppenschema, so sagen wir   habe die Eigenschaft  , falls das unterliegende  -Schema die Eigenschaft   hat.[4] So erhalten wir beispielsweise die Definitionen von quasikompakt, affin, flach, von endlichem Typ, von endlicher Präsentation, endlich, quasisepariert, separiert, unverzweigt, glatt, étale etc.
  • Ein Gruppenschema ist kommutativ, wenn   gilt. Hierbei ist   die Vertauschung. Sie wird von der universellen Eigenschaft des Produktes von   und   induziert.

Basiswechsel

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Ist   ein  -Gruppenschema und   ein Schemamorphismus, so ist das Faserprodukt   auf natürliche Weise ein  -Gruppenschema. Ist   eine Eigenschaft von relativen Schemata, die stabil unter Basiswechsel ist, so ist die zugehörige Eigenschaft von Gruppenschemata ebenfalls stabil unter Basiswechsel.

  • Ist   endlich, so ist   endlich.[5]
  • Ist   affin, so ist   affin.[6]
  • Ist   flach, so ist   flach.[7]
  • Ist   (lokal) von endlichem Typ, so ist   (lokal) von endlichem Typ.[8]
  • Ist   (quasi-)separiert, so ist   (quasi-)separiert.[9]
  • Ist   ganz, so ist   ganz.[5]
  • ...

Affine Gruppenschemata

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Ein affines  -Gruppenschema ist ein  -Gruppenschema  , sodass der Strukturmorphismus   affin ist. Aus der Entsprechung von affinen  -Schemata und quasi-kohärenten  -Algebren über das relative Spektrum ergibt sich eine kontravariante Äquivalenz zwischen den folgenden beiden Kategorien:[10]

  • Die Kategorie der affinen  -Gruppenschemata.
  • Die Kategorie der quasi-kohärenten Hopf  -Algebren.

Ist   affin, so ist letztere Kategorie äquivalent zur Kategorie der  -Hopf-Algebren.

Beispiele

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Jedes Schema   besitzt einen eindeutigen Schemamorphismus  . Durch Basiswechsel definiert also jedes  -Gruppenschema   auf eindeutige Weise ein  -Gruppenschema  .

  • Die additive Gruppe   ist als  -Gruppenschema auf  -Punkten durch
 
definiert.[11][12] Der Funktor wird durch die  -Hopf-Algebra   mit den Operationen
 
dargestellt.
  • Die multiplikative Gruppe   ist als  -Gruppenschema auf  -Punkten durch
 
definiert.[11][13] Der Funktor wird durch die  -Hopf-Algebra   mit den Operationen
 
dargestellt.
  • Die allgemeine lineare Gruppe   für   ist als  -Gruppenschema auf  -Punkten durch
 
definiert.[14] Der Funktor wird durch die Hopf-Algebra   mit
  mit  
 
 
  Eintrag   der Inversen von  
dargestellt.
  • Die spezielle lineare Gruppe   für   kann als abgeschlossenes Untergruppenschema von   definiert werden. Dazu genügt es ein Hopf-Ideal von   aus dem vorigen Beispiel anzugeben. Das Hauptideal   ist das gesuchte Hopf-Ideal. Die Hopf-Algebra zu   ist also  . Alternativ kann   definiert werden.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. SGA 3.1, I.4
  2. SGA 3, I.1.2
  3. a b 047D
  4. 047E
  5. a b 01WL
  6. 01SD
  7. 01U9
  8. 01T4
  9. 01KU
  10. SGA 3.1, I.4.2
  11. a b SGA 3.1, I.4.3
  12. 022V
  13. 022U
  14. 022W