Fixpunktsatz für ganze Funktionen

mathematischer Satz

Der Fixpunktsatz für ganze Funktionen ist ein Lehrsatz der Komplexen Analysis, welcher auf eine Arbeit des französischen Mathematikers Pierre Fatou aus dem Jahr 1926 zurückgeht[1][2]. Er wurde von dem amerikanischen Mathematiker Paul C. Rosenbloom im Jahr 1948 wiederentdeckt[3] und in der Folge weiter verallgemeinert.[4]

Der Satz ergibt sich als Folgerung aus dem Kleinen Satz von Picard.[5][6]

Formulierung des SatzesBearbeiten

„Für eine ganze Funktion   hat die verkettete Funktion       stets einen Fixpunkt, es sei denn,       ist eine Translation       mit    .“

AbgrenzungBearbeiten

Hingegen brauchen ganze Funktionen       selbst keine Fixpunkte zu besitzen. Ein einfaches Beispiel hierfür liefert die Funktion    , welche sicher „fixpunktfrei“ ist, da nämlich die komplexe Exponentialfunktion       keine Nullstellen hat .

LiteraturBearbeiten

Originalarbeiten

  • Pierre Fatou: Sur l’itération des fonctions transcendantes Entières. In: Acta Math. Band 47, 1926, S. 337–370 (MR1555220).
  • Paul C. Rosenbloom: L’itération des fonctions entières. In: C. R. Acad. Sci. Paris. Band 227, 1948, S. 382–383 (MR0026691).
  • P. C. Rosenbloom: The fix-points of entire functions. In: Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. Tome Supplémentaire. 1952, S. 186–192 (MR0051916).

Monographien

  • Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel [u. a.] 1979, ISBN 3-7643-0989-X.
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2 (= Springer-Lehrbuch – Grundwissen Mathematik). 3., neu bearbeitete Auflage. Springer Verlag, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.

WeblinkBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Fatou: Sur l’itération des fonctions transcendantes Entières. In: Acta Math. Band 47, S. 345.
  2. Burckel: S. 433, 458, 559.
  3. Rosenbloom: L’itération des fonctions entières. In: C. R. Acad. Sci. Paris. Band 227, S. 382–383.
  4. Rosenbloom: The fix-points of entire functions. In: Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. Tome Supplémentaire. 1952, S. 186 ff.
  5. Burckel: S. 433.
  6. Remmert, Schumacher: S. 233–234.