CAR-Algebra

Untergebiet der Algebra
(Weitergeleitet von Fermionenalgebra)

Die CAR-Algebra ist eine im mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis betrachtete Algebra. Es handelt sich um eine C*-Algebra, die eng mit den in der Quantenmechanik untersuchten kanonischen Antivertauschungsrelationen (engl. canonical anticommutation relation, daher der Name CAR) verbunden ist und daher auch Fermionenalgebra genannt wird.

Konstruktion

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Bezeichnet   die C*-Algebra der komplexen  -Matrizen, so kann man   vermöge des isometrischen *-Homomorphismus

 

als Unteralgebra von   auffassen. Auf der Vereinigung aller so ineinander liegenden Matrizenalgebren hat man dann eine Norm, die jede der C*-Normen auf   fortsetzt und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist dann eine C*-Algebra, die man die CAR-Algebra nennt.

Kanonische Antivertauschungsrelationen

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Es seien   ein separabler Hilbertraum und   eine lineare Abbildung in die C*-Algebra   der stetigen, linearen Operatoren auf   mit folgenden Eigenschaften:

 

 

für alle Vektoren  .

Man sagt,   erfülle die kanonischen Antivertauschungsrelationen; diese werden von den in der Quantenmechanik betrachteten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen erfüllt. Solche Abbildungen   lassen sich beispielsweise auf dem Fockraum realisieren. Die Isomorphieklasse der von den Operatoren   erzeugten C*-Algebra erweist sich als unabhängig von der speziellen Auswahl der Abbildung  , denn es gilt: [1]

  • Die von allen Operatoren   erzeugte C*-Algebra ist isomorph zur CAR-Algebra.

Ist   eine Orthonormalbasis von  , so kann die Einbettung   mit obiger Einbettung   identifiziert werden (  steht hier für die von in den Klammern aufgelisteten Operatoren erzeugte C*-Algebra).

Als UHF-Algebra und AF-Algebra

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Ihrer Konstruktion nach ist die CAR-Algebra eine UHF-Algebra, und zwar diejenige zur übernatürlichen Zahl   (siehe dazu den Artikel UHF-Algebra). Als UHF-Algebra ist sie auch eine AF-C*-Algebra und daher unter allen AF-C*-Algebren durch ihre geordnete skalierte  -Gruppe ausgezeichnet. Diese ist   mit der durch [0,1] gegebenen Skala[2].   steht dabei für die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.

Produktzustände und Typ III-Faktoren

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Zu jedem   kann man rekursiv Zustände   definieren, wobei

  •   die identische Abbildung sei und
  •   für jedes  , wobei   als  -Matrix mit Elementen aus   geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von   auf   gleich  , denn gemäß der hier betrachteten Einbettung von   nach   ist

 .

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand  , der auf allen   mit   übereinstimmt. Dieser heißt der zu   gehörige Produktzustand. Die Bezeichnung Produktzustand rührt daher, dass man ihn auch über Tensorprodukt-Konstruktionen gewinnen kann, was hier aber nicht ausgeführt wird. Nach J. Glimm lassen sich mittels dieser Zustände wie folgt Faktoren vom Typ III konstruieren.

Zum Zustand   gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung   auf einem Hilbertraum  . Für   ist das Bild   eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III ist.[3] Je zwei solche Faktoren zu verschiedenen Zahlen aus dem offenen Intervall   sind nicht isomorph.[4]

GICAR-Algebra

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Sei   eine Abbildung, die den oben definierten kanonischen Antivertauschungsrelationen genügt. Ist   mit  , so erfüllt auch   die kanonischen Antivertauschungsrelationen, wie man leicht nachrechnen kann. Da die von den   bzw. von den   erzeugte C*-Algebra, wobei   den Hilbertraum durchläuft, in beiden Fällen die CAR-Algebra   ist, kann man zeigen, dass man einen Automorphismus   erhält, den man Eichautomorphismus nennt.

Die C*-Unteralgebra derjenigen Elemente von  , die unter allen Eichautomorphismen   invariant sind, heißt GICAR-Algebra. Dabei steht GI für gauge-invariant (deutsch: eich-invariant). Man kann zeigen, dass die GICAR-Algebra eine AF-C*-Algebra ist. Während die CAR-Algebra einfach ist, das heißt, sie hat keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale, hat die GICAR-Algebra eine reiche Idealstruktur, die man an ihrem Bratteli-Diagramm ablesen kann. Dieses hat die Form des Pascalschen Dreiecks[5]:

 

Einzelnachweise

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  1. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example III.5.4.
  2. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example IV.3.4.
  3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 6.5.15.
  4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 8.15.13.
  5. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1: Example III.5.5.