Fermatsche Spirale

Eine fermatsche oder parabolische Spirale ist eine nach Pierre de Fermat benannte ebene Kurve, die sich in Polarkoordinaten durch die Gleichung

Fermatsche Spirale: ein Ast
Fermatsche Spirale: beide Äste

einer Parabel (mit horizontaler Achse) beschreiben lässt.

Die fermatsche Spirale sieht der archimedischen Spirale ähnlich. Im Gegensatz zu ihr hat sie aber abnehmenden Windungsabstand, d. h., die Windungen liegen nach außen hin immer dichter.

So wie andere Spiralen werden auch fermatsche Spiralen zur Konstruktion von krümmungsstetigen Übergangskurven verwendet.[1]

Beschreibung in kartesischen KoordinatenBearbeiten

Die fermatsche Spirale mit der Polargleichung

 

lässt sich in kartesischen Koordinaten   durch die Parameterdarstellung

  •  

beschreiben.

Aus der Parameterdarstellung und   ergibt sich eine Darstellung mit einer Gleichung:

  •  

EigenschaftenBearbeiten

Zerlegung der EbeneBearbeiten

 
Eine fermatsche Spirale zerlegt die Ebene in zwei zusammenhängende Bereiche (hier schwarz und weiß)

Eine vollständige fermatsche Spirale (beide Äste) ist, im Gegensatz zu einer archimedischen oder hyperbolischen Spirale, eine glatte doppelpunktfreie Kurve, die die Ebene, wie eine Gerade oder ein Kreis oder eine Parabel, in zwei zusammenhängende Bereiche zerlegt. Die besondere Herausforderung bei der Zerlegung der Ebene durch eine fermatsche Spirale ist, dass man mit bloßem Auge nicht so leicht wie bei Gerade, Kreis oder Parabel entscheiden kann, auf welcher Seite der Kurve ein Punkt liegt.

KrümmungBearbeiten

Mit der Formel

 

für die Krümmung einer Kurve in Polardarstellung   und den Ableitungen   und   der fermatschen Spirale ergibt sich für die Krümmung

  •  

Im Nullpunkt ist die Krümmung  . Die vollständige Spirale hat also

  • im Nullpunkt einen Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente.
 
Die Inversion einer fermatschen Spirale (grün) am Einheitskreis (rot) ergibt eine Lituus-Spirale (blau)

InversionBearbeiten

Die Spiegelung am Einheitskreis (Inversion) lässt sich in Polarkoordinaten durch   beschreiben.

  • Das Bild der fermatschen Spirale   bei der Spiegelung am Einheitskreis ist eine Lituus-Spirale mit  .

Für   schneiden sich beide Kurven in einem Fixpunkt auf dem Einheitskreis.

  • Die Wendetangente ( -Achse) der fermatschen Spirale (im Nullpunkt) geht bei der Spiegelung in sich über und ist die Asymptote der Lituus-Spirale.

Fläche zwischen KurvenbögenBearbeiten

Die Sektorfläche für den Kurvenbogen zwischen   und   ist

 
 
 
Fermatsche Spirale:
Flächen zwischen Kurvenbögen

Erhöht man beide Winkel um  , ergibt sich

 

Der Inhalt   der Sektorfläche zwischen den Kurven ist also

  •  

  hängt nur von der Differenz der beiden Winkel und nicht von den Winkeln selbst ab.

In dem Beispiel (siehe Bild) haben also alle benachbarten Sektorstreifen denselben Inhalt:  .

Diese Eigenschaft der fermatschen Spirale spielt in der Elektrotechnik bei der Herstellung von Drehkondensatoren eine Rolle.[2]

 
Die Zwischenflächen (weiß, blau, gelb) haben alle den Flächeninhalt des eingezeichneten Kreises
Spezialfall von Fermat

1636 berichtete Fermat in einem Brief[3] an Marin Mersenne den folgenden Spezialfall:

Es seien  . Dann ist der Inhalt der schwarzen Fläche (siehe Bild)   die Hälfte der Fläche des Kreises   mit Radius  . Die Zwischenflächen (weiß, blau, gelb) haben den Inhalt   Also gilt:

  • Der Flächeninhalt zwischen zwei Spiralbögen nach einer ganzen Umrundung ist gleich dem Flächeninhalt des Kreises  .

BogenlängeBearbeiten

Die Länge des Bogens einer fermatschen Spirale zwischen zwei Punkten   lässt sich mit der Formel für Kurven in Polardarstellung berechnen:

 

Die Lösung dieses Integrals ist allerdings nur numerisch oder mit Hilfe eines elliptischen Integrals möglich.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Anastasios M. Lekkas1, Andreas R. Dahl, Morten Breivik, Thor I. Fossen4: Continuous-Curvature Path GenerationUsing Fermat’s Spiral. In: Modeling, Identification and Control. Vol. 34, No. 4, 2013, S. 183–198, ISSN 1890-1328.
  2. Fritz Wicke: Einführung in die höhere Mathematik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-36804-6, S. 414.
  3. Lettre de Fermat à Mersenne du 3 juin 1636, dans Paul Tannery. In: Oeuvres de Fermat. T. III, S. 277, Lire en ligne.

LiteraturBearbeiten

  • Friedrich Grelle: Analytische Geometrie der Ebene, Verlag F. Brecke, 1861 [1], S. 213.
  • Jac. Phil Kulik: Spirallinien in Lehrbuch der höhern Analysis, Band 2, In Commiss. bei Kronberger u. Rziwnatz, 1844, [2], S. 226.

WeblinksBearbeiten