Gδ- und Fσ-Mengen

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Als Gδ-Mengen und Fσ-Mengen bezeichnet man in der Mathematik spezielle Mengen in topologischen Räumen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Maßtheorie und treten auch bei der Formulierung von Permanenzeigenschaften gewisser Klassen von topologischen Räumen auf.

Definition

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Gegeben sei ein topologischer Raum  .

Eine Menge   heißt eine Gδ-Menge, wenn sie der abzählbare Durchschnitt von offenen Mengen in   ist. Das heißt, es existieren Mengen   für alle  , so dass

 

gilt.

Eine Menge   heißt eine Fσ-Menge, wenn sie die abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen in   ist. Äquivalent dazu ist, dass das Komplement der Menge eine Gδ-Menge ist.

Benennung

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Die Benennung erklärt sich wie folgt:

  • F steht für fermé, französisch für abgeschlossen, das σ für somme, französisch für Summe und daraus abgeleitet die Vereinigung, ähnlich der σ-Additivität oder der σ-Endlichkeit.[1]
  • G steht für Gebiet, da Felix Hausdorff offene Mengen Gebiete nannte,[2] das δ für Durchschnitt.[3]

Verwendung

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Namensgebend sind die Gδ-Mengen beispielsweise bei dem Gδ-Satz von Hausdorff, ebenso spielen sie eine zentrale Rolle bei dem eng verwandten Satz von Mazurkiewicz.

Außerdem sind sowohl Gδ-Mengen als auch Fσ-Mengen stets Borel-Mengen und befinden sich in der zweiten Stufe der Borel-Hierarchie.

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Eric W. Weisstein: F-Sigma Set. In: MathWorld (englisch).
  2. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 26.
  3. Eric W. Weisstein: G-Delta Set. In: MathWorld (englisch).