Extensive Abbildung

mengenverkleinernde bzw. -vergrößernde Abbildung

Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

 

heißt extensiv, falls gilt:

  für alle  .

Sie heißt intensiv, falls gilt:

  für alle  .

BeispieleBearbeiten

  1. Auf   ist die Identität   extensiv und intensiv, da   immer gilt.
  2. Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Fixpunktsatz von Bourbaki-KneserBearbeiten

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung   bereits dann einen Fixpunkt, falls   streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

LiteraturBearbeiten

  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut u. a., Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01638-8.
  • Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 120). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00120-8.
  • Serge Lang: Algebra. 3. edition, reprinted, with corrections. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1993, ISBN 0-201-55540-9.