Maßraum

mathematische Struktur in der Maßtheorie
(Weitergeleitet von Endlicher Maßraum)

Ein Maßraum ist eine spezielle mathematische Struktur, die eine essentielle Rolle in der Maßtheorie und dem axiomatischen Aufbau der Stochastik spielt.

DefinitionBearbeiten

Das Tripel   heißt Maßraum, wenn

  •   eine beliebige, nichtleere Menge ist.   wird dann auch Grundmenge genannt.
  •   eine σ-Algebra über der Grundmenge   ist.
  •   ein Maß ist, das auf   definiert ist.

Alternativ kann man einen Maßraum auch als einen Messraum   versehen mit einem Maß   definieren.

BeispieleBearbeiten

Ein einfaches Beispiel für einen Maßraum sind die natürlichen Zahlen als Grundmenge  , als σ-Algebra wählt man die Potenzmenge   und als Maß das Diracmaß auf der 1:  .

Ein bekannter Maßraum ist die Grundmenge  , versehen mit der borelschen σ-Algebra   und dem Lebesgue-Maß. Dies ist der kanonische Maßraum in der Integrationstheorie.

Die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Wahrscheinlichkeitsräume   sind allesamt Maßräume. Sie bestehen aus der Ergebnismenge  , der Ereignisalgebra   und dem Wahrscheinlichkeitsmaß  .

Klassen von MaßräumenBearbeiten

Endliche MaßräumeBearbeiten

Ein Maßraum   wird ein endlicher Maßraum oder auch beschränkter Maßraum genannt, wenn das Maß der Grundmenge endlich ist, also   ist.

σ-endliche MaßräumeBearbeiten

Eine Maßraum wird ein σ-endlicher Maßraum oder σ-finiter Maßraum genannt, wenn das Maß σ-endlich (bezüglich der σ-Algebra  ) ist.

Vollständige MaßräumeBearbeiten

Ein Maßraum heißt vollständig, wenn jede Teilmenge einer Nullmenge bezüglich des Maßes wieder messbar ist, also in der σ-Algebra liegt.

Signierte MaßräumeBearbeiten

Ist   eine σ-Algebra über der Grundmenge   und   ein signiertes Maß auf dieser σ-Algebra, so nennt man das Tripel   einen signierten Maßraum.

Separable MaßräumeBearbeiten

Ein Maßraum   heißt ein separabler Maßraum, wenn ein abzählbares Mengensystem   existiert, so dass für alle   und beliebige   ein   existiert, so dass   ist.

Zerlegbare MaßräumeBearbeiten

Zerlegbare Maßräume treten auf, wenn man den Satz von Radon-Nikodým allgemeiner formulieren will als nur für σ-endliche Maßräume.

Lokalisierbare MaßräumeBearbeiten

Auf lokalisierbaren Maßräumen lassen sich messbare Funktionen, die auf Mengen endlichen Maßes übereinstimmen zu einer lokal messbare Funktion zusammensetzen.

LiteraturBearbeiten