Eliminationsordnung

Eine Eliminationsordnung ermöglicht es einem bestimmte Variablen aus einem Gleichungssystem zu entfernen. Insbesondere bei Idealen kann es interessant sein, den Schnitt mit einem Teil der Variablen berechnen zu können.

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Definition

Sei $T=\{t_{1},\dotsc ,t_{s}\}\subset \{x_{1},\dotsc ,x_{n}\}$. Eine Monomordnung auf dem Polynomring $K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$ heißt Eliminationsordnung für $T$, falls gilt: $LT(f)\in K[t_{1},\dotsc ,t_{s}]\Rightarrow f\in K[t_{1},\dotsc ,t_{s}]$. Dabei bezeichnet $LT$ den Leitterm bezüglich der Monomordnung.

Beispiele

• Die lexikographische Ordnung ist eine Eliminationsordnung für alle Teilmengen $\{x_{k},\dotsc ,x_{n}\},k\in \{{2,\dotsc ,n}\}$.
• Blockordnungen können auch gut als Eliminationsordnungen verwendet werden.

Eliminationssatz

Sei $>$ eine Eliminationsordnung für $T=\{t_{1},\dotsc ,t_{s}\}\subset \{x_{1},\dotsc ,x_{n}\}$, $I\subset K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$ ein Ideal, $J=I\cap K[t_{1},\dotsc ,t_{s}]$ und $G$ Gröbner-Basis von $I$. Dann gilt: $F=G\cap K[t_{1},\dotsc ,t_{s}]$ ist Gröbner-Basis von $J$.

Literatur

• David Cox, John Little, Donal O’Shea: Ideals, Varieties and Algorithms, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2. Auflage 1997, S. 118
• Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister: Gröbner Bases and Algebraic Geometry in: Bruno Buchberger, Franz Winkler (Hrsg.), Gröbner Bases and Applications, London Math. Soc. LN 251, Cambridge UP 1998, S. 116