Diskussion:Differentiationsklasse

dieser Artikel ist nicht allgemein genug. Es wird nur die Regularitätsklasse $c^{\alpha }$ behandelt. Es fehlen z.B. $L^{p}$, $H^{m,p}$ etc. (Lebesgue- und Sobolev-Räume). Des Weiteren macht es auch Sinn Regularitätsklassen auf Manigfaltigkeiten und auf $\mathbb {C} ^{n}$ zu definieren.

Omega und "Determinantenfunktion"

Auszug aus der aktuellen Artikelversion:

Seien $M,N$ komplexe Mannigfaltigkeiten, also beispielsweise Teilgebiete der komplexen Zahlenebene $\mathbb {C}$. So sagt man eine Funktion $f:M\rightarrow N$ ist analytisch beziehungsweise gehört zur Regularitätsklasse $C^{\omega }(M)$, falls ihre Taylorreihe konvergiert.

Die Teilmengenrelation $C^{0}(M)\supset C^{k}(M)\supset C^{\omega }(M)$ ist leicht ersichtlich.

• Soll das $\omega$ auch eine natürliche Zahl sein? Mir ist die Teilmengenrelation $C^{k}(M)\supset C^{\omega }(M)$ nicht ersichtlich.

Determinantenfunktion $\det :\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R}$ ist einmal differenzierbar und gehört somit zur Regularitätsklasse $C^{1}(\mathbb {R} ^{n\times n})$.

• Gehört die "Determinantenfunktion" nicht sogar zur Regularitätsklasse $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n\times n})$?

Danke, --Abdull 23:26, 15. Feb. 2011 (CET)

• „$\omega$“ ist ein Symbol, das hier sozusagen hinter $\infty$ anzuordnen ist: 0, 1, 2, …, $\infty$, $\omega$. Funktionen in $C^{\omega }$ liegen per Definitionem in $C^{\infty }$: Die Taylorreihe kann nur dann konvergieren, wenn man sie überhaupt aufstellen kann. Das geht nur dann, wenn die Funktion unendlich oft differenzierbar ist.

• Die Determinante ist ein Polynom in den Koeffizieten der Matrix. Die Determinantenfunktion gehört deshalb zur Klasse $C^{\omega }$ --Digamma 17:37, 16. Feb. 2011 (CET)

Hm, die (mehrdimensionalen) Funktionentheoretiker verwenden gerne schon mal $O(G)$, und dort habe ich mal gehört, dass das O für den ersten klanglich hörbaren Laut von "holomorph" (auf französisch) steht (es stammt wohl aus dem französischen Raum). Ich könnte mir vorstellen, dass das kleine Omega auch auf diese O-Schiene implizit verweist, aber dafür hätte ich keinerlei Belege, wüsste auch nicht, wie man die besorgen könnte. --Tolentino 12:02, 20. Feb. 2011 (CET)

Die Definition zu $C^{\omega }$ im Artikel ist übrigens falsch: $C^{\omega }$ schreibt man bei reell-analytischen Funktionen, also für Funktionen auf dem $\mathbb {R} ^{n}$. Auf (nur) glatten Mannigfaltigkeiten (Kartenwechsel $C^{\infty }$) kann man das allerdings nicht definieren. Aber komplexe Mannigfaltigkeiten sind kaum der richtige Rahmen dafür.

Überhaupt sollte man zunächst auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ bleiben, denn viele Regularitätsklassen machen (zumindest a priori) nur dort Sinn. Erst danach kann man diskutieren, welche Regularitätsbegriffe man auf welchen Typ von Mannigfaltigkeit oder topologischem Raum übertragen kann. --Digamma 19:13, 16. Feb. 2011 (CET)

Zwei Sachen

Hallo allerseits. Mir sind zwei Dinge aufgefallen: Zuerst einmal: Alle drei Beispiele sind reell-analytisch, liegen also in allen Differentiationsklassen, es wirkt ein wenig willkürlich, dass bei log nur C^infty steht und bei det sogar nur C^1.

Die zweite Sache: Im Mehrdimensionalen steht im Artikel, dass C^k bedeutet, dass eine Funktion k-mal total differenzierbar ist, aber es steht nicht dabei, dass die k-te Ableitung stetig sein soll. Ich habe jetzt leider den Königsberger nicht zur Hand, um zu sehen, ob der das wirklich auch so definiert, aber es würde mich wundern, weil man dann ja im Eindimensionalen nicht den weiter oben bereits definierten Begriff zurückbekommt. Vorschlag: Entweder wir benutzen partielle Ableitungen zur Defintion und sagen, eine Funktion ist C^k, wenn alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k existieren und stetig sind. Oder wir definieren rekursiv: Eine Funktion heißt C^(k+1), wenn sie total differenzierbar ist und f' (oder wie auch immer man die Abbildung nennt, die jedem Punkt die Jacobi-Matrix zuweist) C^k ist. Beides ist äquivalent und wird auch beides in der Literatur benutzt (letzteres hat natürlich den Vorteil, dass es die Koordinaten nicht benutzt und somit auch in Banachräumen funktioniert, was hier aber keine Rolle spielt).

Soviel von hier, viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 14:00, 15. Mai 2013 (CEST)

Ist eine Funktion total differenzierbar ist, dann ihre Ableitung nicht stetig? Ich bin mir da tadsächlich gerade nicht sicher! Du kannst gerne diese Abschnitt korrigieren. Königsberger definiert stetig differenzierbar, mittels partieller Ableitungen und fordert dann die Stetigkeit, so wie du es gesagt hast.

Der Abschnitt zu den Beispielen ist noch aus dem alten Artikel übernommen und so tadsächlich nicht sinnvoll.--Christian1985 (Disk) 14:05, 15. Mai 2013 (CEST)

Vorschlag: Ich würde dort einfach nach Königsberger "stetig differenzierbar" schreiben und verlinken nach Stetig_differenzierbare_Funktion#Reellwertige_Funktionen_mehrerer_Variablen, dort ist erklärt, dass stetig differenzierbar und stetig partiell differenzierbar äquivalent sind. Aus total differenzierbar folgt nicht stetig differenzierbar. Wegen den Beispielen schaue ich nachher mal, dass ich die überarbeite. -- HilberTraum (Diskussion) 17:12, 15. Mai 2013 (CEST)

So, ich hoffe, dass die Beispiele nun ein wenig interessanter sind. -- HilberTraum (Diskussion) 19:16, 15. Mai 2013 (CEST)

Ja, so gefällt mir das sehr gut. Ich füge mal noch ein Beispiel für eine differenzierbare aber nicht C^1 Funktion ein, bin aber nicht traurig, wenn sie wegen Irrelevanz für dieses Lemma wieder rausfliegt. Grüße, --Cosine (Diskussion) 10:56, 16. Mai 2013 (CEST)

Noch was anderes: Ich finde es ein wenig unschön, dass in der Formulierung "auf ganz D k mal differenzierbar" zwei Formelbuchstaben direkt hintereinander kommen, nämlich D und k. Normalerweise kann man sowas vermeiden, indem man das sprachlich leicht umformuliert, aber mir fällt gerade keine gute Formulierung ein, außer "auf ganz D mindestens k mal differenzierbar", aber das ist ja schon inhaltlich nicht mehr ganz das gleich. Ideen? --Cosine (Diskussion) 11:02, 16. Mai 2013 (CEST)

Was mit weniger gemeint ist

Im Abschnitt "Teilmengenrelation" heißt es: "Je höher also der Index der Differentiationsklasse ist, desto weniger Funktionen umfasst sie.". Es ist (für mich) unklar was mit "weniger" gemeint ist, in Anbetracht dessen, dass alle diese Mengen unendlich (und möglicherweise gleich-mächtig) sind. --87.171.30.33 12:22, 31. Okt. 2013 (CET)

Gemeint ist, dass die Differentiationsklasse zu einem höheren Index echte Teilmengen der Differentiationsklassen zu niedrigerem Index sind. "... desto weniger Funktionen umfasst sie" bedeutet also, dass es Funktionen gibt, die in Differentiationsklassen mit niedrigerem Index enthalten sind, aber nicht in denen mit höherem. --Digamma (Diskussion) 13:56, 31. Okt. 2013 (CET)