Diskriminante (Modulform)

Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene holomorphe Funktion.

Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.

DefinitionBearbeiten

Für   sei  ,

dabei sind   und   die Eisensteinreihen zum Gitter  .

ProduktentwicklungBearbeiten

Die Diskriminante   lässt sich in ein unendliches Produkt entwickeln, es gilt:

 

Aus der Produktdarstellung folgt unmittelbar, dass   in   keine Nullstellen hat.

Die Diskriminante   ist eng verwandt mit der Dedekindschen η-Funktion, es ist  .

TransformationsverhaltenBearbeiten

Die Diskriminante Δ ist eine ganze Modulform vom Gewicht 12, d. h. unter den Substitutionen von

  gilt:

 .

Die Diskriminante Δ hat eine Nullstelle bei   und ist damit das einfachste Beispiel für eine sogenannte Spitzenform (engl. cusp form).

FourierentwicklungBearbeiten

Die Diskriminante Δ lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

 .

Die Fourierkoeffizienten sind alle ganze Zahlen und werden als Ramanujansche tau-Funktion bezeichnet. Diese ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d. h.

  für teilerfremde  ,

wie im Jahre 1917 von Louis Mordell bewiesen wurde. Genauer gilt die Formel

 .

Für die ersten Werte der tau-Funktion   gilt:[1]

 
 
 .

Bis heute ist keine „einfache“ arithmetische Definition der tau-Funktion bekannt. Ebenso ist bis heute unbekannt, ob die von Derrick Henry Lehmer aufgestellte Vermutung

  für alle   richtig ist.

Ramanujan vermutete, dass für Primzahlen   gilt:

 .

Diese Vermutung wurde im Jahre 1974 von Deligne bewiesen.

Die   erfüllen die bereits von Ramanujan entdeckte Kongruenz

 

mit

 

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Folge A000594 in OEIS