Halbring (Algebraische Struktur)

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Halbring

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

  • Links-Halbring

umfasst als Spezialfälle

Ein Halbring ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes, in der die Addition nicht mehr eine kommutative Gruppe, sondern nur noch eine kommutative Halbgruppe sein muss.

Halbringe werden ebenso mit nicht kommutativer Addition sowie mit (absorbierender) und/oder definiert, die Definitionen in der Literatur sind nicht einheitlich.

DefinitionenBearbeiten

HalbringBearbeiten

Ein Halbring (engl.: Semiring) ist eine algebraische Struktur   mit einer (nichtleeren) Menge   und mit zwei zweistelligen Verknüpfungen   (Addition) und   (Multiplikation), für die gilt:

  1.   ist eine kommutative Halbgruppe.
  2.   ist eine Halbgruppe.
  3. Es gelten die Distributivgesetze, d. h. für alle   gilt
    sowie    [1]

Ist auch   kommutativ, so spricht man von einem kommutativen Halbring.

NullelementBearbeiten

Besitzt ein Halbring   ein neutrales Element   bezüglich der Addition, d. h.

  für alle  

so nennt man dieses das Nullelement oder kurz die Null des Halbringes. Die Null   eines Halbringes heißt absorbierend, falls

  für alle  

Ein Halbring   mit einer absorbierenden Null heißt auch Hemiring.[2]

EinselementBearbeiten

Wenn ein Halbring ein neutrales Element   bezüglich der Multiplikation enthält, also

  für alle  

dann nennt man dieses das Einselement oder kurz die Eins des Halbringes.

Ein Hemiring   mit einer Eins   heißt auch Bewertungshalbring.[3]

DioidBearbeiten

Ein Hemiring   mit Eins und idempotenter Addition wird als Dioid bezeichnet, d. h. bei einem Dioid sind   und   u. a. Monoide.

BeispieleBearbeiten

  •  ;
  •   ist sogar ein Halbkörper.
  •  , die sogenannte Min-Plus-Algebra;
  • Für jede Menge   ist die Potenzmenge   ein Halbring.
  • Allgemeiner ist jede Boolesche Algebra ein Halbring.

LiteraturBearbeiten

Anmerkungen und EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Man sagt auch:   distribuiert über  .
  2. D. R. La Torre: On h-ideals and k-ideals in hemirings. Publ. Math. Debrecen 12, 219-226 (1965) [1] [2].
  3. Hebisch, Weinert; S. 257

WeblinksBearbeiten