Danielewski-Fläche

In der Mathematik stellt eine Danielewski-Fläche eine Verallgemeinerung des Raumes $\mathbb {C} ^{2}$ dar und hat aus Sicht der komplexen Analysis ähnliche Eigenschaften wie $\mathbb {C} ^{2}$.

Definition

Eine Danielewski-Fläche ist eine algebraische Fläche, welche algebraisch isomorph ist zu einer Hyperfläche $S\subset \mathbb {C} ^{3}$, die als Nullstellenmenge eines Polynoms $x^{n}\cdot y-p(z)\in \mathbb {C} [x,y,z]$ definiert ist, wobei $p\in \mathbb {C} [z]$ ein Polynom in einer Variablen ist.

Elementare Eigenschaften

• Im Spezialfall $n=1,\;p(z)=z$ ist $S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {C} ^{3}:x\cdot y=z\right\}$ isomorph zu $\mathbb {C} ^{2}$.
• Genau dann, wenn das Polynom $p$ nur einfache Nullstellen hat, ist $S$ nicht nur eine algebraische Fläche, sondern auch eine Komplexe Mannigfaltigkeit, da sie keine Singularitäten aufweist.
• Sei $p(z)=(z-a_{1})\cdot (z-a_{2})\cdots (z-a_{m})$ mit paarweise verschiedenen $a_{i},a_{j}$. Dann gilt:

$S=\left\{(x,p(z)/x^{n},z)\in \mathbb {C} ^{3},x\neq 0\right\}{\dot {\cup }}\left\{x=0,z=a_{1}\right\}{\dot {\cup }}\dots {\dot {\cup }}\left\{x=0,z=a_{m}\right\}$

d. h. $S$ besteht im Prinzip aus $\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C}$ und $m$ Kopien von $\mathbb {C}$, die daran angeklebt sind.

Automorphismengruppe

Die Gruppe der holomorphen Automorphismen einer Danielewski-Fläche, welche keine Singularitäten aufweist, verhält sich ähnlich wie im bekannten Spezialfall $\mathbb {C} ^{2}$, das bedeutet, sie ist "groß" in dem Sinne, dass sich die die Gruppe erzeugenden Elemente nicht explizit angeben lassen. Wie im Fall von $\mathbb {C} ^{2}$ lässt sich aber eine dichte Teilmenge der Automorphismengruppe mit Hilfe von verallgemeinerten Scherungen konkret beschreiben.

Weblinks

• Automorphisms of Danielewski surfaces (pdf, engl.)