Carleman-Ungleichung

mathematischer Satz

Die Carleman-Ungleichung, benannt nach dem schwedischen Mathematiker Torsten Carleman, ist eine elementare Ungleichung der Analysis. Sie besagt, dass eine Reihe geometrischer Mittel einer Folge durch ein konstantes Vielfaches der Reihe von oben beschränkt ist. Genauer besagt sie, dass die eulersche Zahl die kleinste Konstante ist, die als Vielfaches diese Schranke erfüllt.

Die Carleman-Ungleichung wurde erstmals 1923 von Torsten Carleman publiziert.

Sei   eine Folge reeller, nicht-negativer Zahlen. Bezeichne   die eulersche Zahl  . Dann gilt:

 .

Dabei ist   die kleinste Zahl, die diese Aussage erfüllt.

Wegen   ist   (Teleskopsumme)

und aus   folgt  

  und das ist nach der AM-GM-Ungleichung

 

Varianten

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Für eine Funktion   mit   gilt folgende kontinuierliche Variante der Carleman-Ungleichung:

 .

Literatur

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