Benutzer:Ranlvor/Mathematik Hausaugaben 24.01.2012

Kathetensatz des Euklid

Kathetensatz: Die beiden roten Bereiche haben denselben Flächeninhalt, ebenso die beiden grünen

Der Punkt der Höhe h teilt die Hypotenuse in zwei Teile p und q. Das Verhältnis dieser beiden Teile wird durch den Kathetensatz beschrieben. Er besagt, dass in rechtwinkligen Dreiecken die Rechtecke im Quadrat über der Hypotenuse unter den Kathetenquadraten diesen jeweils flächeninhaltsgleich sind. Oder:

Seien a,b,c die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse c. Teilt man dieses Dreieck an der Höhe h und mit p der Hypotenusenabschnitt über a, q der entsprechende Abschnitt über b, so gilt:

Das Quadrat über a ist flächeninhaltsgleich zum Rechteck mit den Seiten p und c, und das Quadrat über b ist flächeninhaltsgleich zum Rechteck mit den Seiten q und c."

Als Formeln:

$a^{2}=p\cdot c$

$b^{2}=q\cdot c$

Höhensatz des Euklid

Rechtwinkliges Dreieck mit pq und h²

Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten ist. Oder:

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h, welche die Hypotenuse in die Abschnitte p und q teilt. Dann ist $h^{2}=p\cdot q$.

Die Umkehrung gilt ebenso:

Gilt der Höhensatz in einem Dreieck, so ist dieses Dreieck rechtwinklig.

Satz des Thales

Halbkreis mit rechtwinkligen Dreiecken

Kurzformulierung: Alle Winkel am Halbkreisbogen sind rechte Winkel.

Exakte Formulierung: Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck.

Oder: Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis über der Strecke AB, dann hat das Dreieck bei C immer einen rechten Winkel.

Auch die Umkehrung des Satzes ist korrekt: Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt immer in der Mitte der Hypotenuse, also der längsten Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

Oder: Hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel, so liegt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser AB.