Programm:

  • wann und wo?
  • was soll das?
  • Definitionen und Schreibweisen
  • Beispiele
  • Spezialfall: totales Differenzial
  • Verallgemeinerung: Differenzierbarkeit Mannigfaltigkeit

Die totale Ableitung oder Totalableitung ist in den mathematischen Gebieten der Analysis und der Differentialgeometrie die Verallgemeinerung der Ableitung von reellen Funktionen auf Funktionen (Abbildungen) zwischen höherdimensionalen Räumen. Während die Ableitung einer Funktion an einer Stelle eine Zahl ist, ist die totale Ableitung einer Abbildung im Punkt eine lineare Abbildung. Diese kann durch eine Matrix dargestellt werden, die Ableitungsmatrix, Jacobi-Matrix oder Fundamentalmatrix genannt wird. Das Konzept der totalen Ableitungen kann auch auf unendlichdimensionale Räume (Fréchet-Ableitung) und auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden.

Motivation/Einführung

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Für Funktionen   wird die Ableitung an der Stelle   in der Regel durch

 

definiert, wobei   gilt bzw.  . In dieser Form kann man dies nicht auf Abbildungen   übertragen, da man durch   nicht dividieren kann. Man verfolgt deshalb einen andern Weg.

Die Ableitung   beschreibt die Steigung der Tangente an den Funktionsgraph im Punkt  . Die Tangente selbst hat die Gleichung

 

sie ist also der Graph der linearen (affinen) Funktion

 .

Diese Funktion approximiert die Funktion   im folgenden Sinn:

Man setzt   und betrachtet die Differenz zwischen der Funktion und der linearen Approximation  :

 

Dividiert man durch   und verwendet dann die Definition der Ableitung, so erhält man für den Quotienten:

 

Die Differenz   geht also für   selbst dann noch gegen 0, wenn man sie durch   dividiert. Man sagt:   geht schneller gegen 0 als  . Diese Beziehung gilt auch dann noch, wenn man den Betrag des Quotienten nimmt.

 

In dieser Form lässt sich der Begriff der Differenzierbarkeit auf Abbildungen   übertragen. In diesem Fall ist   ein Vektor in  ,   ein Vektor in   und   eine lineare Abbildung von   nach  .

Definition

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Gegeben seien eine offene Teilmenge  , ein Punkt   und eine Abbildung  . Die Abbildung   heißt im Punkt   differenzierbar, falls eine lineare Abbildung   existiert, so dass

 

gilt. Dabei bezeichnet   einen Vektor in  . Die Betragsstriche bezeichnen die Norm in   bzw.  . Da im   bzw.   alle Normen äquivalent sind, spielt es keine Rolle, welche Norm gewählt wird.

Falls so eine lineare Abbildung   existiert, so ist sie eindeutig bestimmt. Man nennt sie die totale Ableitung, das totale Differential oder einfach nur die Ableitung von   im Punkt   und schreibt dafür  ,  ,   oder  .