Benutzer:Digamma/Totale Ableitung

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• Spezialfall: totales Differenzial
• Verallgemeinerung: Differenzierbarkeit Mannigfaltigkeit

Die totale Ableitung oder Totalableitung ist in den mathematischen Gebieten der Analysis und der Differentialgeometrie die Verallgemeinerung der Ableitung von reellen Funktionen auf Funktionen (Abbildungen) zwischen höherdimensionalen Räumen. Während die Ableitung $\,\!f'(x_{0})$ einer Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ an einer Stelle $x_{0}\in \mathbb {R}$ eine Zahl ist, ist die totale Ableitung einer Abbildung $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ im Punkt $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ eine lineare Abbildung. Diese kann durch eine Matrix dargestellt werden, die Ableitungsmatrix, Jacobi-Matrix oder Fundamentalmatrix genannt wird. Das Konzept der totalen Ableitungen kann auch auf unendlichdimensionale Räume (Fréchet-Ableitung) und auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden.

Motivation/Einführung

Für Funktionen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ wird die Ableitung an der Stelle $x_{0}$ in der Regel durch

$f'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

definiert, wobei $h=x-x_{0}$ gilt bzw. $x=x_{0}+h$. In dieser Form kann man dies nicht auf Abbildungen $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ übertragen, da man durch $h\in \mathbb {R} ^{n}$ nicht dividieren kann. Man verfolgt deshalb einen andern Weg.

Die Ableitung $f'(x_{0})$ beschreibt die Steigung der Tangente an den Funktionsgraph im Punkt $(x_{0},f(x_{0}))$. Die Tangente selbst hat die Gleichung

$y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),$

sie ist also der Graph der linearen (affinen) Funktion

$g_{x_{0}}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$.

Diese Funktion approximiert die Funktion $f$ im folgenden Sinn:

Man setzt $h=x-x_{0}$ und betrachtet die Differenz zwischen der Funktion und der linearen Approximation $g_{x_{0}}$:

$r(h)=f(x+h)-(f(x_{0})+f'(x_{0})h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f'(x_{0})h$

Dividiert man durch $h$ und verwendet dann die Definition der Ableitung, so erhält man für den Quotienten:

$\lim _{h\to 0}{\frac {r(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f'(x_{0})h}{h}}=\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-f'(x_{0})\right)=0$

Die Differenz $r(h)$ geht also für $h\to 0$ selbst dann noch gegen 0, wenn man sie durch $h$ dividiert. Man sagt: $r(h)$ geht schneller gegen 0 als $h$. Diese Beziehung gilt auch dann noch, wenn man den Betrag des Quotienten nimmt.

$\lim _{h\to 0}{\frac {|r(h)|}{|h|}}=\lim _{h\to 0}{\frac {|f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f'(x_{0})h|}{|h|}}=0$

In dieser Form lässt sich der Begriff der Differenzierbarkeit auf Abbildungen $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ übertragen. In diesem Fall ist $h$ ein Vektor in $\mathbb {R} ^{n}$, $F(x_{0}+h)-F(x_{0})$ ein Vektor in $\mathbb {R} ^{m}$ und $F'(x_{0})$ eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{m}$.

Definition

Gegeben seien eine offene Teilmenge $U\subset \mathbb {R} ^{n}$, ein Punkt $x_{0}\in U$ und eine Abbildung $F\colon U\to \mathbb {R} ^{m}$. Die Abbildung $F$ heißt im Punkt $x_{0}$ differenzierbar, falls eine lineare Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ existiert, so dass

$\lim _{|h|\to 0}{\frac {|F(x_{0}+h)-F(x_{0})-L(h)|}{|h|}}=0$

gilt. Dabei bezeichnet $h$ einen Vektor in $\mathbb {R} ^{n}$. Die Betragsstriche bezeichnen die Norm in $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\mathbb {R} ^{m}$. Da im $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\mathbb {R} ^{m}$ alle Normen äquivalent sind, spielt es keine Rolle, welche Norm gewählt wird.

Falls so eine lineare Abbildung $L$ existiert, so ist sie eindeutig bestimmt. Man nennt sie die totale Ableitung, das totale Differential oder einfach nur die Ableitung von $F$ im Punkt $x_{0}$ und schreibt dafür $DF(x_{0})$, $DF_{x_{0}}$, $dF_{x_{0}}$ oder $F'(x_{0})\,$.