Es soll die Funktion
![{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,~x\mapsto \exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7337409e4c28890ce67b94415a202cdb8f4f0884)
mit
um den Punkt
entwickelt werden.
In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden. Es gilt also
. Wegen
müssen, gemäß der Multiindexschreibweise die Tupel
,
,
,
,
und
berücksichtigt werden.
Die partiellen Ableitungen der Funktion lauten:
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})\right]_{x=(1,0)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a34287647244879f4bda63a4390809aa833d72)
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a)=\left[-\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \left(\log(1-x_{2})+{\frac {1}{1-x_{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=-e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55df47c8d0210eccaca74dfbca03dc43fca5b193)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})\right]_{x=(1,0)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5198d1f21234848dbe1c5d6be6e181b9a802a337)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}(a)=\left[-\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \left(\log(1-x_{2})+{\frac {1}{1-x_{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=-e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8d1453d75beb6f7ea1452ba92794e96eee3ff3)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\left(\log(1-x_{2})+{\frac {2}{1-x_{2}}}-{\frac {1}{(1-x_{2})^{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb4f30e6b1493bfd8f4f428a37b141a7bb3d5ce)
Es folgt mit der mehrdimensionalen Taylor-Formel:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)\approx &f(a)+{\frac {1}{1!}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)~(x_{1}-a_{1})+{\frac {1}{1!}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a)~(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2!}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(a)~(x_{1}-a_{1})^{2}+{\frac {1}{1!1!}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}(a)~(x_{1}-a_{1})(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2!}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(a)~(x_{2}-a_{2})^{2}\\&=0+0-e(x_{2}-0)+0-e(x_{1}-1)(x_{2}-0)+{\frac {1}{2}}e(x_{2}-0)^{2}\\&=-x_{1}x_{2}e+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}e\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774acb3e9f95dd6c76a0c65529406378fb42b8c9)
Eine alternative Darstellung der Taylorentwicklung basiert nicht auf der Multiindexdarstellung, sondern auf einer Matizendarstellung der Taylor-Formel.
So gilt auch:
mit der Jacobi-Matrix
und der Hesse-Matrix
.